Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgtop11 GIF version

Theorem tgtop11 12318
 Description: The topology generation function is one-to-one when applied to completed topologies. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgtop11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)

Proof of Theorem tgtop11
StepHypRef Expression
1 tgtop 12310 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2 tgtop 12310 . . 3 (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
31, 2eqeqan12d 2156 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 = 𝐾))
43biimp3a 1324 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5134  topGenctg 12208  Topctop 12237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2692  df-sbc 2915  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fv 5142  df-topgen 12214  df-top 12238 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator