Theorem fzpred 10431

Description: Join a predecessor to the beginning of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpred	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9881	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9891	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		peano2uz 9938	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		fzsplit2 10409	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
6	4, 5	mpancom 422	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
7		fzsn 10426	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	8	uneq1d 3376	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10	6, 9	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {csn 3695  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  1c1 8146   + caddc 8148  ℤcz 9599  ℤ_≥cuz 9876  ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by:  elfzp12  10460