Theorem nn0split 10545

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 10547) union of the first 𝑁 + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9959	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
3		peano2nn0 9605	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4	3, 1	eleqtrdi 2331	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
5		uzsplit 10501	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7		nn0cn 9575	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 8704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	9	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
11	10	uneq1d 3382	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12	2, 6, 11	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9565  ℤ_≥cuz 9923  ...cfz 10413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414

This theorem is used by:  plycoeid3  15860