Theorem nn0split 9543

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 9545) union of the first 𝑁 + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9051	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
3		peano2nn0 8711	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4	3, 1	syl6eleq 2180	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
5		uzsplit 9502	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7		nn0cn 8681	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 7853	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	9	oveq2d 5668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
11	10	uneq1d 3153	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12	2, 6, 11	3eqtrd 2124	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   ∪ cun 2997  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  ℂcc 7346  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   − cmin 7651  ℕ₀cn0 8671  ℤ_≥cuz 9017  ...cfz 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423

This theorem is referenced by: (None)