ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala GIF version

Theorem setsvala 12506
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 998 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → 𝑆𝑉)
2 opexg 4240 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
323adant1 1016 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4 setsvalg 12505 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
51, 3, 4syl2anc 411 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
6 dmsnopg 5112 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
76difeq2d 3265 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
87reseq2d 4919 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
98uneq1d 3300 . . 3 (𝐵𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
1093ad2ant3 1021 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
115, 10eqtrd 2220 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749  cdif 3138  cun 3139  {csn 3604  cop 3607  dom cdm 4638  cres 4640  (class class class)co 5888   sSet csts 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sets 12482
This theorem is referenced by:  setsex  12507  strsetsid  12508  fvsetsid  12509  setsabsd  12514  setscom  12515  setsslid  12526
  Copyright terms: Public domain W3C validator