Theorem setsvala 12546

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		opexg 4246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
3	2	3adant1 1017	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4		setsvalg 12545	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
6		dmsnopg 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
7	6	difeq2d 3268	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
8	7	reseq2d 4925	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
9	8	uneq1d 3303	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
10	9	3ad2ant3 1022	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
11	5, 10	eqtrd 2222	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∖ cdif 3141   ∪ cun 3142  {csn 3607  ⟨cop 3610  dom cdm 4644   ↾ cres 4646  (class class class)co 5897   sSet csts 12513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sets 12522

This theorem is referenced by:  setsex  12547  strsetsid  12548  fvsetsid  12549  setsabsd  12554  setscom  12555  setsslid  12566