Theorem setsvala 12913

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		opexg 4277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
3	2	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4		setsvalg 12912	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
6		dmsnopg 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
7	6	difeq2d 3293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
8	7	reseq2d 4965	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
9	8	uneq1d 3328	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
10	9	3ad2ant3 1023	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
11	5, 10	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∖ cdif 3165   ∪ cun 3166  {csn 3635  ⟨cop 3638  dom cdm 4680   ↾ cres 4682  (class class class)co 5954   sSet csts 12880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-sets 12889

This theorem is referenced by:  setsex  12914  strsetsid  12915  fvsetsid  12916  setsabsd  12921  setscom  12922  setsslid  12933