Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala GIF version

Theorem setsvala 11674
 Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 946 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → 𝑆𝑉)
2 opexg 4079 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
323adant1 964 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4 setsvalg 11673 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
51, 3, 4syl2anc 404 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
6 dmsnopg 4936 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
76difeq2d 3133 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
87reseq2d 4745 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
98uneq1d 3168 . . 3 (𝐵𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
1093ad2ant3 969 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
115, 10eqtrd 2127 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∖ cdif 3010   ∪ cun 3011  {csn 3466  ⟨cop 3469  dom cdm 4467   ↾ cres 4469  (class class class)co 5690   sSet csts 11641 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sets 11650 This theorem is referenced by:  setsex  11675  strsetsid  11676  fvsetsid  11677  setsabsd  11682  setscom  11683  setsslid  11693
 Copyright terms: Public domain W3C validator