ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala GIF version

Theorem setsvala 12006
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → 𝑆𝑉)
2 opexg 4150 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
323adant1 999 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4 setsvalg 12005 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
51, 3, 4syl2anc 408 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
6 dmsnopg 5010 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
76difeq2d 3194 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
87reseq2d 4819 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
98uneq1d 3229 . . 3 (𝐵𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
1093ad2ant3 1004 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
115, 10eqtrd 2172 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  cdif 3068  cun 3069  {csn 3527  cop 3530  dom cdm 4539  cres 4541  (class class class)co 5774   sSet csts 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sets 11982
This theorem is referenced by:  setsex  12007  strsetsid  12008  fvsetsid  12009  setsabsd  12014  setscom  12015  setsslid  12025
  Copyright terms: Public domain W3C validator