ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omsuc GIF version

Theorem omsuc 6473
Description: Multiplication with successor. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
omsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem omsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-suc 4372 . . . . . . 7 suc ๐ต = (๐ต โˆช {๐ต})
2 iuneq1 3900 . . . . . . 7 (suc ๐ต = (๐ต โˆช {๐ต}) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆช {๐ต})((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆช {๐ต})((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)
4 iunxun 3967 . . . . . 6 โˆช ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆช {๐ต})((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช โˆช ๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
53, 4eqtri 2198 . . . . 5 โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช โˆช ๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
6 oveq2 5883 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต))
76oveq1d 5890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
87iunxsng 3963 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
98uneq2d 3290 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช โˆช ๐‘ฅ โˆˆ {๐ต} ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
105, 9eqtrid 2222 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
1110adantl 277 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
12 onsuc 4501 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
13 omv2 6466 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
1412, 13sylan2 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ต((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
15 omv2 6466 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
1615uneq1d 3289 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) = (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
1711, 14, 163eqtr4d 2220 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
18 omcl 6462 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
19 simpl 109 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
20 oaword1 6472 . . . 4 (((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
21 ssequn1 3306 . . . 4 ((๐ด ยทo ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
2220, 21sylib 122 . . 3 (((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
2318, 19, 22syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆช ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
2417, 23eqtrd 2210 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โˆช cun 3128   โŠ† wss 3130  {csn 3593  โˆช ciun 3887  Oncon0 4364  suc csuc 4366  (class class class)co 5875   +o coa 6414   ยทo comu 6415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422
This theorem is referenced by:  onmsuc  6474
  Copyright terms: Public domain W3C validator