ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsplit GIF version

Theorem nnsplit 10166
Description: Express the set of positive integers as the disjoint union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsplit (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nnsplit
StepHypRef Expression
1 nnuz 9592 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
21a1i 9 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = (ℤ‘1))
3 peano2nn 8960 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43, 1eleqtrdi 2282 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
5 uzsplit 10121 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
64, 5syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7 nncn 8956 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 8002 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
97, 8pncand 8298 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
109oveq2d 5911 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
1110uneq1d 3303 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
122, 6, 113eqtrd 2226 1 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  cun 3142  cfv 5235  (class class class)co 5895  1c1 7841   + caddc 7843  cmin 8157  cn 8948  cuz 9557  ...cfz 10037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038
This theorem is referenced by:  summodclem3  11419
  Copyright terms: Public domain W3C validator