Theorem nnsplit 10371

Description: Express the set of positive integers as the disjoint union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsplit	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = (ℤ≥‘1))
3		peano2nn 9154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3, 1	eleqtrdi 2324	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
5		uzsplit 10326	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7		nncn 9150	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 8194	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8	pncand 8490	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	9	oveq2d 6033	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
11	10	uneq1d 3360	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12	2, 6, 11	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  ℕcn 9142  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  summodclem3  11940