Theorem fzosplitprm1 10310

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zre 9330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 9330	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltle 8114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
7	6	3impia 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		eluz2 9607	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10		fzosplitsn 10309	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
12		zcn 9331	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 7972	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		npcan 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
15	14	eqcomd 2202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
16	12, 13, 15	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
17	16	3ad2ant2 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
18	17	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
19		peano2zm 9364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21		zltlem1 9383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
22	21	biimp3a 1356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
23		eluz2 9607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
24	1, 20, 22, 23	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
25		fzosplitsn 10309	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
27	18, 26	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
28	27	uneq1d 3316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) = (((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ∪ {𝐵}))
29		unass 3320	. . 3 ⊢ (((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ({(𝐵 − 1)} ∪ {𝐵}))
30		df-pr 3629	. . . . . 6 ⊢ {(𝐵 − 1), 𝐵} = ({(𝐵 − 1)} ∪ {𝐵})
31	30	eqcomi 2200	. . . . 5 ⊢ ({(𝐵 − 1)} ∪ {𝐵}) = {(𝐵 − 1), 𝐵}
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({(𝐵 − 1)} ∪ {𝐵}) = {(𝐵 − 1), 𝐵})
33	32	uneq2d 3317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ({(𝐵 − 1)} ∪ {𝐵})) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))
34	29, 33	eqtrid 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))
35	11, 28, 34	3eqtrd 2233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {csn 3622  {cpr 3623   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by: (None)