Theorem wlkv 16038

Description: The classes involved in a walk are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkv	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem wlkv

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4084	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlkmex 16032	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
4		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	wksfval 16035	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
7	6	breqd 4094	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))}𝑃))
8		brabv 4849	. . . . 5 ⊢ (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
10	3, 9	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
12	10	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
13	3, 11, 12	3jca 1201	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 983   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  {copab 4144  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002  ...cfz 10204  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071  Vtxcvtx 15813  iEdgciedg 15814  Walkscwlks 16030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-wlks 16031

This theorem is referenced by:  wlkprop  16039  wlkvtxiedg  16056  wlkl1loop  16069  wlk1walkdom  16070  wlkvtxedg  16074