ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlttrd GIF version

Theorem xrlttrd 9841
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrlttrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrlttrd.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrlttrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlttrd
StepHypRef Expression
1 xrlttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrlttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrlttr 9827 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1249 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 433 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2160   class class class wbr 4018  *cxr 8022   < clt 8023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-lttrn 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028
This theorem is referenced by:  xlt2add  9912  ioom  10293
  Copyright terms: Public domain W3C validator