ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlttrd GIF version

Theorem xrlttrd 9433
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrlttrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrlttrd.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrlttrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlttrd
StepHypRef Expression
1 xrlttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrlttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrlttr 9422 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1184 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 427 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1448   class class class wbr 3875  *cxr 7671   < clt 7672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-lttrn 7609
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677
This theorem is referenced by:  xlt2add  9504  ioom  9879
  Copyright terms: Public domain W3C validator