xlt2add - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xlt2add 9946

Description: Extended real version of lt2add 8464. Note that ltleadd 8465, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xlt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

**Proof of Theorem xlt2add**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcl 9926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
2	1	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
4		simp1l 1023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
5		simp2r 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
6		xaddcl 9926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
9		xaddcl 9926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
10	9	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
12		simp3r 1028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14		simp1r 1024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
16	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
17		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		xltadd2 9943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷))
21		simp3l 1027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
23	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
24		simp2l 1025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
26		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27		xltadd1 9942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
29	22, 28	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
30	3, 8, 11, 20, 29	xrlttrd 9875	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
31	30	anassrs 400	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
32		pnfxr 8072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ^)
34		pnfge 9855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → 𝐶 ≤ +∞)
35	24, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
36	4, 24, 33, 21, 35	xrltletrd 9877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37		npnflt 9881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
40		pnfge 9855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → 𝐷 ≤ +∞)
41	5, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
42	14, 5, 33, 12, 41	xrltletrd 9877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
43		npnflt 9881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
44	14, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
45	42, 44	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
46		xaddnepnf 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
47	4, 39, 14, 45, 46	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
48		npnflt 9881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
49	2, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
50	47, 49	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
51	50	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
52		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = +∞ → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = (𝐶 +_𝑒 +∞))
53		mnfxr 8076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ^)
55		mnfle 9858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
56	4, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
57	54, 4, 24, 56, 21	xrlelttrd 9876	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
58		nmnfgt 9884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
59	24, 58	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
60	57, 59	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
61		xaddpnf1 9912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
62	24, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
63	52, 62	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = +∞)
64	51, 63	breqtrrd 4057	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
65	64	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
66		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → 𝐷 = -∞)
67		mnfle 9858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
68	14, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
69	54, 14, 5, 68, 12	xrlelttrd 9876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
70		nmnfgt 9884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
71	5, 70	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
72	69, 71	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
73	72	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → 𝐷 ≠ -∞)
74	66, 73	pm2.21ddne 2447	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
75	74	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
76		elxr 9842	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
77	5, 76	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
78	77	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
79	31, 65, 75, 78	mpjao3dan 1318	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
80		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
81	39	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
82	80, 81	pm2.21ddne 2447	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
83		oveq1 5925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-∞ +_𝑒 𝐵))
84		xaddmnf2 9915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
85	14, 45, 84	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
86	83, 85	sylan9eqr 2248	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = -∞)
87		xaddnemnf 9923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
88	24, 60, 5, 72, 87	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
89		nmnfgt 9884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
90	10, 89	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
91	88, 90	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
93	86, 92	eqbrtrd 4051	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
94		elxr 9842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
95	4, 94	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
96	79, 82, 93, 95	mpjao3dan 1318	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
97	96	3expia 1207	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ w3o 979 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ≠ wne 2364 class class class wbr 4029 (class class class)co 5918 ℝcr 7871 +∞cpnf 8051 -∞cmnf 8052 ℝ^*cxr 8053 < clt 8054 ≤ cle 8055 +_𝑒 cxad 9836

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-sep 4147 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-addcom 7972 ax-addass 7974 ax-i2m1 7977 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-fv 5262 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-xadd 9839

This theorem is referenced by: bldisj 14569

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