Theorem acosval 26765

Description: Value of the arccos function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acosval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))

Proof of Theorem acosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (arcsin‘𝑥) = (arcsin‘𝐴))
2	1	oveq2d 7420	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))
3		df-acos 26748	. 2 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
4		ovex 7437	. 2 ⊢ ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6991	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107   − cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  πcpi 16013  arcsincasin 26744  arccoscacos 26745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-acos 26748

This theorem is referenced by:  acosneg  26769  cosacos  26772  acoscos  26775  acos1  26777  acosbnd  26782  acosrecl  26785  sinacos  26787