Theorem acosval 27085

Description: Value of the arccos function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acosval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))

Proof of Theorem acosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (arcsin‘𝑥) = (arcsin‘𝐴))
2	1	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))
3		df-acos 27068	. 2 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
4		ovex 7456	. 2 ⊢ ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6996	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  πcpi 16145  arcsincasin 27064  arccoscacos 27065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-acos 27068

This theorem is used by:  acosneg  27089  cosacos  27092  acoscos  27095  acos1  27097  acosbnd  27102  acosrecl  27105  sinacos  27107