Theorem acosbnd 26395

Description: The arccosine function has range within a vertical strip of the complex plane with real part between 0 and π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Proof of Theorem acosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acosval 26378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))
2	1	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))))
3		halfpire 25966	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	3	recni 11225	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5		asincl 26368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
6		resub 15071	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
7	4, 5, 6	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
8		rere 15066	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
10	9	oveq1i 7416	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
11	7, 10	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
12	2, 11	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
13	5	recld 15138	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ)
14		resubcl 11521	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	3, 13, 14	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		asinbnd 26394	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
17		neghalfpire 25967	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
18	17, 3	elicc2i 13387	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
19	16, 18	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
20	19	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2))
21		subge0 11724	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
22	3, 13, 21	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
23	20, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
24	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℝ)
25		pire 25960	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
27	25	recni 11225	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
28	17	recni 11225	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
29	27, 4	negsubi 11535	. . . . . . 7 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
30		pidiv2halves 25969	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
31	27, 4, 4, 30	subaddrii 11546	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
32	29, 31	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
33	4, 27, 28, 32	subaddrii 11546	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
34	19	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
35	33, 34	eqbrtrid 5183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − π) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
36	24, 26, 13, 35	subled 11814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π)
37		0re 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 13387	. . 3 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π))
39	15, 23, 36, 38	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
40	12, 39	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≤ cle 11246   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  [,]cicc 13324  ℜcre 15041  πcpi 16007  arcsincasin 26357  arccoscacos 26358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-asin 26360  df-acos 26361

This theorem is referenced by: (None)