Theorem acosbnd 25039

Description: The arccosine function has range within a vertical strip of the complex plane with real part between 0 and π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Proof of Theorem acosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acosval 25022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))
2	1	fveq2d 6436	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))))
3		halfpire 24615	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	3	recni 10370	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5		asincl 25012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
6		resub 14243	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
7	4, 5, 6	sylancr 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
8		rere 14238	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
10	9	oveq1i 6914	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
11	7, 10	syl6eq 2876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
12	2, 11	eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
13	5	recld 14310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ)
14		resubcl 10665	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	3, 13, 14	sylancr 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		asinbnd 25038	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
17		neghalfpire 24616	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
18	17, 3	elicc2i 12526	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
19	16, 18	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
20	19	simp3d 1180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2))
21		subge0 10864	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
22	3, 13, 21	sylancr 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
23	20, 22	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
24	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℝ)
25		pire 24609	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
27	25	recni 10370	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
28	17	recni 10370	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
29	27, 4	negsubi 10679	. . . . . . 7 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
30		pidiv2halves 24618	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
31	27, 4, 4, 30	subaddrii 10690	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
32	29, 31	eqtri 2848	. . . . . 6 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
33	4, 27, 28, 32	subaddrii 10690	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
34	19	simp2d 1179	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
35	33, 34	syl5eqbr 4907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − π) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
36	24, 26, 13, 35	subled 10954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π)
37		0re 10357	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 12526	. . 3 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π))
39	15, 23, 36, 38	syl3anbrc 1449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
40	12, 39	eqeltrd 2905	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  ℝcr 10250  0cc0 10251   + caddc 10254   ≤ cle 10391   − cmin 10584  -cneg 10585   / cdiv 11008  2c2 11405  [,]cicc 12465  ℜcre 14213  πcpi 15168  arcsincasin 25001  arccoscacos 25002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cncf 23050  df-limc 24028  df-dv 24029  df-log 24701  df-asin 25004  df-acos 25005

This theorem is referenced by: (None)