Theorem acosbnd 25955

Description: The arccosine function has range within a vertical strip of the complex plane with real part between 0 and π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Proof of Theorem acosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acosval 25938	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arccos‘𝐴) = ((π / 2) − (arcsin‘𝐴)))
2	1	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))))
3		halfpire 25526	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	3	recni 10920	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5		asincl 25928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
6		resub 14766	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
7	4, 5, 6	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
8		rere 14761	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
10	9	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
11	7, 10	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((π / 2) − (arcsin‘𝐴))) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
12	2, 11	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
13	5	recld 14833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ)
14		resubcl 11215	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	3, 13, 14	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		asinbnd 25954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
17		neghalfpire 25527	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
18	17, 3	elicc2i 13074	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
19	16, 18	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
20	19	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2))
21		subge0 11418	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
22	3, 13, 21	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ↔ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
23	20, 22	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))))
24	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℝ)
25		pire 25520	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
27	25	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
28	17	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
29	27, 4	negsubi 11229	. . . . . . 7 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
30		pidiv2halves 25529	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
31	27, 4, 4, 30	subaddrii 11240	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
32	29, 31	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
33	4, 27, 28, 32	subaddrii 11240	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
34	19	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(π / 2) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
35	33, 34	eqbrtrid 5105	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − π) ≤ (ℜ‘(arcsin‘𝐴)))
36	24, 26, 13, 35	subled 11508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π)
37		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 13074	. . 3 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ≤ π))
39	15, 23, 36, 38	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (ℜ‘(arcsin‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
40	12, 39	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(arccos‘𝐴)) ∈ (0[,]π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  [,]cicc 13011  ℜcre 14736  πcpi 15704  arcsincasin 25917  arccoscacos 25918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-asin 25920  df-acos 25921

This theorem is referenced by: (None)