Theorem acoscos 26803

Description: The arccosine function is an inverse to cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acoscos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem acoscos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		acosval 26793	. . 3 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
5		picn 26367	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
6		halfcl 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
8		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncan 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
12		subcl 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
14		coshalfpim 26404	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
16	11, 15	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
17	16	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) = (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))))
18		halfpire 26373	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11188	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20		resub 15093	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
21	19, 8, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
22		rere 15088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
24	23	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴))
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
26		recl 15076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
28		resubcl 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
29	18, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (π / 2) ∈ ℝ)
31		neghalfpire 26374	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) ∈ ℝ)
33		eliooord 13366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < π)
36	19, 19	subnegi 11501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
37		pidiv2halves 26376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
38	36, 37	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
39	35, 38	breqtrrdi 5149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < ((π / 2) − -(π / 2)))
40	27, 30, 32, 39	ltsub13d 11784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
41	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
42		ltsubpos 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
43	27, 18, 42	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))
45	31	rexri 11232	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
46	18	rexri 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
47		elioo2 13347	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))))
48	45, 46, 47	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
49	29, 40, 44, 48	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	25, 49	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		asinsin 26802	. . . . 5 ⊢ ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
52	13, 50, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
53	17, 52	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)))
54		asincl 26783	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	2, 54	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
56		subsub23 11426	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
57	19, 8, 55, 56	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
58	53, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴)
59	4, 58	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  (,)cioo 13306  ℜcre 15063  sincsin 16029  cosccos 16030  πcpi 16032  arcsincasin 26772  arccoscacos 26773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-asin 26775  df-acos 26776

This theorem is referenced by:  acoscosb  26808  acos1half  42346