Theorem acoscos 26857

Description: The arccosine function is an inverse to cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acoscos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem acoscos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16050	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		acosval 26847	. . 3 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
5		picn 26421	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
6		halfcl 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
8		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncan 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
12		subcl 11377	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
14		coshalfpim 26458	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
16	11, 15	eqtr3d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
17	16	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) = (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))))
18		halfpire 26427	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11144	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20		resub 15048	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
21	19, 8, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
22		rere 15043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
24	23	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴))
25	21, 24	eqtrdi 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
26		recl 15031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
28		resubcl 11443	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
29	18, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (π / 2) ∈ ℝ)
31		neghalfpire 26428	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) ∈ ℝ)
33		eliooord 13319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < π)
36	19, 19	subnegi 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
37		pidiv2halves 26430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
38	36, 37	eqtri 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
39	35, 38	breqtrrdi 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < ((π / 2) − -(π / 2)))
40	27, 30, 32, 39	ltsub13d 11741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
41	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
42		ltsubpos 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
43	27, 18, 42	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))
45	31	rexri 11188	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
46	18	rexri 11188	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
47		elioo2 13300	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))))
48	45, 46, 47	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
49	29, 40, 44, 48	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	25, 49	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		asinsin 26856	. . . . 5 ⊢ ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
52	13, 50, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
53	17, 52	eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)))
54		asincl 26837	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	2, 54	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
56		subsub23 11383	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
57	19, 8, 55, 56	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
58	53, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴)
59	4, 58	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  (,)cioo 13259  ℜcre 15018  sincsin 15984  cosccos 15985  πcpi 15987  arcsincasin 26826  arccoscacos 26827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-asin 26829  df-acos 26830

This theorem is referenced by:  acoscosb  26862  acos1half  42555