Theorem acoscos 26873

Description: The arccosine function is an inverse to cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acoscos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem acoscos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16088	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		acosval 26863	. . 3 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
5		picn 26438	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
6		halfcl 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
8		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncan 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
10	7, 8, 9	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
12		subcl 11386	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8, 12	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
14		coshalfpim 26475	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
16	11, 15	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
17	16	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) = (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))))
18		halfpire 26444	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20		resub 15083	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
21	19, 8, 20	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
22		rere 15078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
24	23	oveq1i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴))
25	21, 24	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
26		recl 15066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
28		resubcl 11452	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
29	18, 27, 28	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (π / 2) ∈ ℝ)
31		neghalfpire 26445	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) ∈ ℝ)
33		eliooord 13352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < π)
36	19, 19	subnegi 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
37		pidiv2halves 26447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
38	36, 37	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
39	35, 38	breqtrrdi 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < ((π / 2) − -(π / 2)))
40	27, 30, 32, 39	ltsub13d 11750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
41	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
42		ltsubpos 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
43	27, 18, 42	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))
45	31	rexri 11197	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
46	18	rexri 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
47		elioo2 13333	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))))
48	45, 46, 47	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
49	29, 40, 44, 48	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	25, 49	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		asinsin 26872	. . . . 5 ⊢ ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
52	13, 50, 51	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
53	17, 52	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)))
54		asincl 26853	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	2, 54	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
56		subsub23 11392	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
57	19, 8, 55, 56	mp3an2i 1469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
58	53, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴)
59	4, 58	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   − cmin 11371  -cneg 11372   / cdiv 11801  2c2 12230  (,)cioo 13292  ℜcre 15053  sincsin 16022  cosccos 16023  πcpi 16025  arcsincasin 26842  arccoscacos 26843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-asin 26845  df-acos 26846

This theorem is referenced by:  acoscosb  26878  acos1half  42807