Theorem acoscos 26836

Description: The arccosine function is an inverse to cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acoscos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem acoscos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16071	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		acosval 26826	. . 3 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
5		picn 26400	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
6		halfcl 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
8		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncan 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
12		subcl 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
14		coshalfpim 26437	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
16	11, 15	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
17	16	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) = (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))))
18		halfpire 26406	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20		resub 15069	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
21	19, 8, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
22		rere 15064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
24	23	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴))
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
26		recl 15052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
28		resubcl 11462	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
29	18, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (π / 2) ∈ ℝ)
31		neghalfpire 26407	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) ∈ ℝ)
33		eliooord 13342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < π)
36	19, 19	subnegi 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
37		pidiv2halves 26409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
38	36, 37	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
39	35, 38	breqtrrdi 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < ((π / 2) − -(π / 2)))
40	27, 30, 32, 39	ltsub13d 11760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
41	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
42		ltsubpos 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
43	27, 18, 42	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))
45	31	rexri 11208	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
46	18	rexri 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
47		elioo2 13323	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))))
48	45, 46, 47	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
49	29, 40, 44, 48	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	25, 49	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		asinsin 26835	. . . . 5 ⊢ ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
52	13, 50, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
53	17, 52	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)))
54		asincl 26816	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	2, 54	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
56		subsub23 11402	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
57	19, 8, 55, 56	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
58	53, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴)
59	4, 58	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  (,)cioo 13282  ℜcre 15039  sincsin 16005  cosccos 16006  πcpi 16008  arcsincasin 26805  arccoscacos 26806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-asin 26808  df-acos 26809

This theorem is referenced by:  acoscosb  26841  acos1half  42339