Theorem acoscos 27236

Description: The arccosine function is an inverse to cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acoscos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem acoscos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		acosval 27226	. . 3 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))))
5		picn 26800	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
6		halfcl 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
8		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncan 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
12		subcl 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8, 12	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
14		coshalfpim 26839	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
16	11, 15	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
17	16	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) = (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))))
18		halfpire 26808	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20		resub 15309	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
21	19, 8, 20	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)))
22		rere 15304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
24	23	oveq1i 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(π / 2)) − (ℜ‘𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴))
25	21, 24	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) = ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
26		recl 15292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
28		resubcl 11635	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
29	18, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (π / 2) ∈ ℝ)
31		neghalfpire 26809	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) ∈ ℝ)
33		eliooord 13549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < π))
35	34	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < π)
36	19, 19	subnegi 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
37		pidiv2halves 26811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
38	36, 37	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
39	35, 38	breqtrrdi 5150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘𝐴) < ((π / 2) − -(π / 2)))
40	27, 30, 32, 39	ltsub13d 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)))
41	34	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
42		ltsubpos 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
43	27, 18, 42	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))
45	31	rexri 11380	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
46	18	rexri 11380	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
47		elioo2 13530	. . . . . . . 8 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2))))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∧ ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) < (π / 2)))
49	29, 40, 44, 48	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
50	25, 49	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2)))
51		asinsin 27235	. . . . 5 ⊢ ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((π / 2) − 𝐴)) ∈ ( -(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
52	13, 50, 51	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(sin‘((π / 2) − 𝐴))) = ((π / 2) − 𝐴))
53	17, 52	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)))
54		asincl 27216	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	2, 54	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
56		subsub23 11575	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (arcsin‘(cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
57	19, 8, 55, 56	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (((π / 2) − 𝐴) = (arcsin‘(cos‘𝐴)) ↔ ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴))
58	53, 57	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → ((π / 2) − (arcsin‘(cos‘𝐴))) = 𝐴)
59	4, 58	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213   + caddc 11216  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   − cmin 11554   -cneg 11555   / cdiv 11986  2c2 12410  (,)cioo 13489  ℜcre 15279  sincsin 16244  cosccos 16245  πcpi 16247  arcsincasin 27205  arccoscacos 27206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ioc 13494  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-fac 14431  df-bc 14460  df-hash 14488  df-shft 15235  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-ef 16248  df-sin 16250  df-cos 16251  df-pi 16253  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-limc 26201  df-dv 26202  df-log 26899  df-asin 27208  df-acos 27209

This theorem is used by:  acoscosb  27241  acos1half  43552