Theorem asinval 26808

Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
3	2	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
4	3	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
5	1, 4	oveq12d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
6	5	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
7	6	oveq2d 7369	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8		df-asin 26791	. 2 ⊢ arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9		ovex 7386	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6934	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366  2c2 12201  ↑cexp 13986  √csqrt 15158  logclog 26479  arcsincasin 26788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-asin 26791

This theorem is referenced by:  asinneg  26812  efiasin  26814  asinsin  26818  asin1  26820  asinbnd  26825  areacirclem4  37693