Theorem asinval 26943

Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
3	2	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
4	3	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
5	1, 4	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
6	5	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
7	6	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8		df-asin 26926	. 2 ⊢ arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9		ovex 7481	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521  2c2 12348  ↑cexp 14112  √csqrt 15282  logclog 26614  arcsincasin 26923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-asin 26926

This theorem is referenced by:  asinneg  26947  efiasin  26949  asinsin  26953  asin1  26955  asinbnd  26960  areacirclem4  37671