MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 26764
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (i Β· π‘₯) = (i Β· 𝐴))
2 oveq1 7411 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (1 βˆ’ (π‘₯↑2)) = (1 βˆ’ (𝐴↑2)))
43fveq2d 6888 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 7422 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6888 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
76oveq2d 7420 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 26747 . 2 arcsin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))))
9 ovex 7437 . 2 (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6991 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  2c2 12268  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15183  logclog 26438  arcsincasin 26744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-asin 26747
This theorem is referenced by:  asinneg  26768  efiasin  26770  asinsin  26774  asin1  26776  asinbnd  26781  areacirclem4  37091
  Copyright terms: Public domain W3C validator