MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 26834
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (i Β· π‘₯) = (i Β· 𝐴))
2 oveq1 7433 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 7442 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (1 βˆ’ (π‘₯↑2)) = (1 βˆ’ (𝐴↑2)))
43fveq2d 6906 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 7444 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6906 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
76oveq2d 7442 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 26817 . 2 arcsin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))))
9 ovex 7459 . 2 (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7010 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  2c2 12305  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  logclog 26508  arcsincasin 26814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-asin 26817
This theorem is referenced by:  asinneg  26838  efiasin  26840  asinsin  26844  asin1  26846  asinbnd  26851  areacirclem4  37217
  Copyright terms: Public domain W3C validator