Theorem asinval 26926

Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
3	2	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
4	3	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
5	1, 4	oveq12d 7450	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
6	5	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
7	6	oveq2d 7448	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8		df-asin 26909	. 2 ⊢ arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9		ovex 7465	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7015	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494  2c2 12322  ↑cexp 14103  √csqrt 15273  logclog 26597  arcsincasin 26906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-asin 26909

This theorem is referenced by:  asinneg  26930  efiasin  26932  asinsin  26936  asin1  26938  asinbnd  26943  areacirclem4  37719