MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 25447
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7141 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2 oveq1 7140 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 7149 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
43fveq2d 6650 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 7151 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6650 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
76oveq2d 7149 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 25430 . 2 arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9 ovex 7166 . 2 (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6744 1 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  1c1 10516  ici 10517   + caddc 10518   · cmul 10520  cmin 10848  -cneg 10849  2c2 11671  cexp 13414  csqrt 14572  logclog 25125  arcsincasin 25427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fv 6339  df-ov 7136  df-asin 25430
This theorem is referenced by:  asinneg  25451  efiasin  25453  asinsin  25457  asin1  25459  asinbnd  25464  areacirclem4  35024
  Copyright terms: Public domain W3C validator