MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 26248
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (i Β· π‘₯) = (i Β· 𝐴))
2 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (1 βˆ’ (π‘₯↑2)) = (1 βˆ’ (𝐴↑2)))
43fveq2d 6851 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 7380 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6851 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
76oveq2d 7378 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 26231 . 2 arcsin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· (logβ€˜((i Β· π‘₯) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))))
9 ovex 7395 . 2 (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6953 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  logclog 25926  arcsincasin 26228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-asin 26231
This theorem is referenced by:  asinneg  26252  efiasin  26254  asinsin  26258  asin1  26260  asinbnd  26265  areacirclem4  36198
  Copyright terms: Public domain W3C validator