Theorem afv2elrn 47236

Description: An alternate function value belongs to the range of the function, analogous to fvelrn 7051. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2elrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afv2elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmdfat 47134	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
2		dfatafv2rnb 47232	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  dom cdm 5641  ran crn 5642  Fun wfun 6508   defAt wdfat 47121  ''''cafv2 47213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-dfat 47124  df-afv2 47214

This theorem is referenced by:  fnafv2elrn  47238