Theorem afv2rnfveq 48425

Description: If the alternate function value is defined, i.e., in the range of the function, the alternate function value equals the function's value. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2rnfveq	⊢ ((𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2rnfveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatafv2rnb 48390	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)
2		dfatafv2eqfv 48424	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ ((𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ran crn 5651  ‘cfv 6538   defAt wdfat 48279  ''''cafv2 48371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-dfat 48282  df-afv2 48372

This theorem is used by:  afv2fv0  48428