Theorem afv2rnfveq 48158

Description: If the alternate function value is defined, i.e., in the range of the function, the alternate function value equals the function's value. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2rnfveq	⊢ ((𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2rnfveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatafv2rnb 48123	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)
2		dfatafv2eqfv 48157	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ ((𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5660  ‘cfv 6537   defAt wdfat 48012  ''''cafv2 48104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-dfat 48015  df-afv2 48105

This theorem is used by:  afv2fv0  48161