Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bigoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bigoval 47700
Description: Set of functions of order G(x). (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bigoval (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Distinct variable group:   ๐‘“,๐บ,๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ

Proof of Theorem bigoval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6901 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ฆ))
21oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
32breq2d 5164 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
43ralbidv 3175 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
542rexbidv 3217 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
65rabbidv 3438 . 2 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
7 df-bigo 47699 . 2 ฮŸ = (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
8 ovex 7459 . . 3 (โ„ โ†‘pm โ„) โˆˆ V
98rabex 5338 . 2 {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V
106, 7, 9fvmpt 7010 1 (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  {crab 3430   โˆฉ cin 3948   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โ†‘pm cpm 8852  โ„cr 11145   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283   โ‰ค cle 11287  [,)cico 13366  ฮŸcbigo 47698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-bigo 47699
This theorem is referenced by:  elbigo  47702
  Copyright terms: Public domain W3C validator