Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bigoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bigoval 46246
Description: Set of functions of order G(x). (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bigoval (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Distinct variable group:   ๐‘“,๐บ,๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ

Proof of Theorem bigoval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6824 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ฆ))
21oveq2d 7353 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
32breq2d 5104 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
43ralbidv 3170 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
542rexbidv 3209 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
65rabbidv 3411 . 2 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
7 df-bigo 46245 . 2 ฮŸ = (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
8 ovex 7370 . . 3 (โ„ โ†‘pm โ„) โˆˆ V
98rabex 5276 . 2 {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V
106, 7, 9fvmpt 6931 1 (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3403   โˆฉ cin 3897   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   โ†‘pm cpm 8687  โ„cr 10971   ยท cmul 10977  +โˆžcpnf 11107   โ‰ค cle 11111  [,)cico 13182  ฮŸcbigo 46244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487  df-ov 7340  df-bigo 46245
This theorem is referenced by:  elbigo  46248
  Copyright terms: Public domain W3C validator