Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bigoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bigoval 47492
Description: Set of functions of order G(x). (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bigoval (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Distinct variable group:   ๐‘“,๐บ,๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ

Proof of Theorem bigoval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6883 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ฆ))
21oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
32breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
43ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
542rexbidv 3213 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))))
65rabbidv 3434 . 2 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
7 df-bigo 47491 . 2 ฮŸ = (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
8 ovex 7437 . . 3 (โ„ โ†‘pm โ„) โˆˆ V
98rabex 5325 . 2 {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V
106, 7, 9fvmpt 6991 1 (๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ (ฮŸโ€˜๐บ) = {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐บโ€˜๐‘ฆ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โˆฉ cin 3942   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โ†‘pm cpm 8820  โ„cr 11108   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246   โ‰ค cle 11250  [,)cico 13329  ฮŸcbigo 47490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-bigo 47491
This theorem is referenced by:  elbigo  47494
  Copyright terms: Public domain W3C validator