Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigofrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigofrcl 47735
Description: Reverse closure of the "big-O" function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigofrcl (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„))

Proof of Theorem elbigofrcl
Dummy variables ๐‘” ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6929 . 2 (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ dom ฮŸ)
2 df-bigo 47733 . . . 4 ฮŸ = (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
32dmeqi 5901 . . 3 dom ฮŸ = dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
4 dmmptg 6241 . . . 4 (โˆ€๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„){๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V โ†’ dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))}) = (โ„ โ†‘pm โ„))
5 ovex 7449 . . . . . 6 (โ„ โ†‘pm โ„) โˆˆ V
65rabex 5329 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V
76a1i 11 . . . 4 (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V)
84, 7mprg 3057 . . 3 dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))}) = (โ„ โ†‘pm โ„)
93, 8eqtri 2753 . 2 dom ฮŸ = (โ„ โ†‘pm โ„)
101, 9eleqtrdi 2835 1 (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆฉ cin 3938   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โ†‘pm cpm 8844  โ„cr 11137   ยท cmul 11143  +โˆžcpnf 11275   โ‰ค cle 11279  [,)cico 13358  ฮŸcbigo 47732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7419  df-bigo 47733
This theorem is referenced by:  elbigo  47736  elbigoimp  47741
  Copyright terms: Public domain W3C validator