Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigofrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigofrcl 47516
Description: Reverse closure of the "big-O" function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigofrcl (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„))

Proof of Theorem elbigofrcl
Dummy variables ๐‘” ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6922 . 2 (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ dom ฮŸ)
2 df-bigo 47514 . . . 4 ฮŸ = (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
32dmeqi 5898 . . 3 dom ฮŸ = dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))})
4 dmmptg 6235 . . . 4 (โˆ€๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„){๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V โ†’ dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))}) = (โ„ โ†‘pm โ„))
5 ovex 7438 . . . . . 6 (โ„ โ†‘pm โ„) โˆˆ V
65rabex 5325 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V
76a1i 11 . . . 4 (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))} โˆˆ V)
84, 7mprg 3061 . . 3 dom (๐‘” โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„) โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘“ โˆฉ (๐‘ฅ[,)+โˆž))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘š ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))}) = (โ„ โ†‘pm โ„)
93, 8eqtri 2754 . 2 dom ฮŸ = (โ„ โ†‘pm โ„)
101, 9eleqtrdi 2837 1 (๐น โˆˆ (ฮŸโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„ โ†‘pm โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   โˆฉ cin 3942   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†‘pm cpm 8823  โ„cr 11111   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249   โ‰ค cle 11253  [,)cico 13332  ฮŸcbigo 47513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-bigo 47514
This theorem is referenced by:  elbigo  47517  elbigoimp  47522
  Copyright terms: Public domain W3C validator