MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noeta2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem noeta2 27286
Description: A version of noeta 27246 with fewer hypotheses but a weaker upper bound (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
noeta2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem noeta2
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦))
2 bdayfo 27180 . . . . . . 7 bday : No –ontoβ†’On
3 fofun 6807 . . . . . . 7 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ Fun bday )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 Fun bday
5 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
7 unexg 7736 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
9 funimaexg 6635 . . . . . 6 ((Fun bday ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
104, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
1110uniexd 7732 . . . 4 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
12 imassrn 6071 . . . . . . 7 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† ran bday
13 forn 6809 . . . . . . . 8 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ ran bday = On)
142, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ran bday = On
1512, 14sseqtri 4019 . . . . . 6 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On
16 ssorduni 7766 . . . . . 6 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
18 elon2 6376 . . . . 5 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ (Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∧ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V))
1917, 18mpbiran 708 . . . 4 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
2011, 19sylibr 233 . . 3 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
21 onsucb 7805 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
2220, 21sylib 217 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
23 onsucuni 7816 . . 3 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
2415, 23mp1i 13 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
25 noeta 27246 . 2 ((((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) ∧ (suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ∧ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
261, 22, 24, 25syl12anc 836 1 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  Fun wfun 6538  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544   No csur 27143   <s cslt 27144   bday cbday 27145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148
This theorem is referenced by:  conway  27301
  Copyright terms: Public domain W3C validator