MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noeta2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem noeta2 27283
Description: A version of noeta 27243 with fewer hypotheses but a weaker upper bound (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
noeta2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem noeta2
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦))
2 bdayfo 27177 . . . . . . 7 bday : No –ontoβ†’On
3 fofun 6806 . . . . . . 7 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ Fun bday )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 Fun bday
5 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
7 unexg 7735 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
9 funimaexg 6634 . . . . . 6 ((Fun bday ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
104, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
1110uniexd 7731 . . . 4 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
12 imassrn 6070 . . . . . . 7 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† ran bday
13 forn 6808 . . . . . . . 8 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ ran bday = On)
142, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ran bday = On
1512, 14sseqtri 4018 . . . . . 6 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On
16 ssorduni 7765 . . . . . 6 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
18 elon2 6375 . . . . 5 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ (Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∧ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V))
1917, 18mpbiran 707 . . . 4 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
2011, 19sylibr 233 . . 3 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
21 onsucb 7804 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
2220, 21sylib 217 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
23 onsucuni 7815 . . 3 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
2415, 23mp1i 13 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
25 noeta 27243 . 2 ((((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) ∧ (suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ∧ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
261, 22, 24, 25syl12anc 835 1 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543   No csur 27140   <s cslt 27141   bday cbday 27142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-1o 8465  df-2o 8466  df-no 27143  df-slt 27144  df-bday 27145
This theorem is referenced by:  conway  27297
  Copyright terms: Public domain W3C validator