MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noeta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noeta2 27146
Description: A version of noeta 27107 with fewer hypotheses but a weaker upper bound (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
noeta2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem noeta2
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦))
2 bdayfo 27041 . . . . . . 7 bday : No –ontoβ†’On
3 fofun 6758 . . . . . . 7 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ Fun bday )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 Fun bday
5 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
7 unexg 7684 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V)
9 funimaexg 6588 . . . . . 6 ((Fun bday ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
104, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
1110uniexd 7680 . . . 4 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
12 imassrn 6025 . . . . . . 7 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† ran bday
13 forn 6760 . . . . . . . 8 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ ran bday = On)
142, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ran bday = On
1512, 14sseqtri 3981 . . . . . 6 ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On
16 ssorduni 7714 . . . . . 6 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
18 elon2 6329 . . . . 5 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ (Ord βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∧ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V))
1917, 18mpbiran 708 . . . 4 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V)
2011, 19sylibr 233 . . 3 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
21 onsucb 7753 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
2220, 21sylib 217 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On)
23 onsucuni 7764 . . 3 (( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† On β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
2415, 23mp1i 13 . 2 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
25 noeta 27107 . 2 ((((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) ∧ (suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On ∧ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
261, 22, 24, 25syl12anc 836 1 (((𝐴 βŠ† No ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 βŠ† No ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ <s 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ No (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ <s 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑧 <s 𝑦 ∧ ( bday β€˜π‘§) βŠ† suc βˆͺ ( bday β€œ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  Fun wfun 6491  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497   No csur 27004   <s cslt 27005   bday cbday 27006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 27007  df-slt 27008  df-bday 27009
This theorem is referenced by:  conway  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator