Theorem cbvditgdavw 37113

Description: Change bound variable in a directed integral. Deduction form. (Contributed by GG, 14-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvditgdavw.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cbvditgdavw	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑦)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem cbvditgdavw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvditgdavw.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐶 = 𝐷)
2	1	cbvitgdavw 37112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑦)
3	1	cbvitgdavw 37112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑦)
4	3	negeqd 11551	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑦)
5	2, 4	ifeq12d 4503	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑦, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑦))
6		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
7		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑦 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑦, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑦)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ifcif 4481   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344   -cneg 11542  (,)cioo 13476  ∫citg 25939  ⨜cdit 26166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-neg 11544  df-seq 14145  df-sum 15854  df-itg 25944  df-ditg 26167

This theorem is used by: (None)