Theorem hne0 28995

Description: Hilbert space has a nonzero vector iff it is not trivial. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hne0	⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑥 ≠ 0ℎ)

Proof of Theorem hne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 28689	. 2 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
2	1	chne0i 28901	1 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑥 ≠ 0ℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091   ℋchba 28365  0_ℎc0v 28370  0_ℋc0h 28381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334  ax-hilex 28445  ax-hfvadd 28446  ax-hv0cl 28449  ax-hfvmul 28451

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-map 8144  df-nn 11380  df-hlim 28418  df-sh 28653  df-ch 28667  df-ch0 28699

This theorem is referenced by:  nmopun  29462