Theorem chne0 31827

Description: A nonzero closed subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chne0	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3020	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ))
2		rexeq 3319	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ))
3	1, 2	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ)))
4		h0elch 31588	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	4	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6	5	chne0i 31786	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ)
7	3, 6	dedth 4547	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  ifcif 4488  0_ℎc0v 31257   C_ℋ cch 31262  0_ℋc0h 31268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31332  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hvass 31335  ax-hv0cl 31336  ax-hvaddid 31337  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hvdistr2 31342  ax-hvmul0 31343  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his2 31416  ax-his3 31417  ax-his4 31418

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-lm 23367  df-haus 23453  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-gdiv 30829  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-vs 30932  df-nmcv 30933  df-ims 30934  df-hnorm 31301  df-hvsub 31304  df-hlim 31305  df-sh 31540  df-ch 31554  df-ch0 31586

This theorem is referenced by:  atom1d  32686