Theorem chne0 29844

Description: A nonzero closed subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chne0	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3008	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ))
2		rexeq 3342	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ))
3	1, 2	bibi12d 346	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ)))
4		h0elch 29605	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	4	elimel 4534	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6	5	chne0i 29803	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)𝑥 ≠ 0ℎ)
7	3, 6	dedth 4523	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067  ifcif 4465  0_ℎc0v 29274   C_ℋ cch 29279  0_ℋc0h 29285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944  ax-hilex 29349  ax-hfvadd 29350  ax-hvcom 29351  ax-hvass 29352  ax-hv0cl 29353  ax-hvaddid 29354  ax-hfvmul 29355  ax-hvmulid 29356  ax-hvmulass 29357  ax-hvdistr1 29358  ax-hvdistr2 29359  ax-hvmul0 29360  ax-hfi 29429  ax-his1 29432  ax-his2 29433  ax-his3 29434  ax-his4 29435

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-sup 9171  df-inf 9172  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-icc 13077  df-seq 13712  df-exp 13773  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-topgen 17144  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-top 22033  df-topon 22050  df-bases 22086  df-lm 22370  df-haus 22456  df-grpo 28843  df-gid 28844  df-ginv 28845  df-gdiv 28846  df-ablo 28895  df-vc 28909  df-nv 28942  df-va 28945  df-ba 28946  df-sm 28947  df-0v 28948  df-vs 28949  df-nmcv 28950  df-ims 28951  df-hnorm 29318  df-hvsub 29321  df-hlim 29322  df-sh 29557  df-ch 29571  df-ch0 29603

This theorem is referenced by:  atom1d  30703