Theorem pjnmopi 32204

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 31760	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		nmopval 31912	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		vex 3443	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
7	6	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
8	7	rexbidv 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
9	5, 8	elab 3633	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
10		pjnorm 31780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
11	1, 10	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
12	1	pjhcli 31474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13		normcl 31181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15		normcl 31181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
16		1re 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		letr 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
18	16, 17	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
19	14, 15, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
20	11, 19	mpand 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22		breq1 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
23	22	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
24	21, 23	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
25	24	expl 457	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
26	25	rexlimiv 3129	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
27	9, 26	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
28	27	rgen 3052	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
29	1	cheli 31288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
31	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
32		eqle 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
33	31, 32	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
34		pjid 31751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
35	1, 34	mpan 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
36	35	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) = 1)
39	37, 38	eqtr2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))
40	30, 33, 39	jca32 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
41	40	reximi2 3068	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
42	1	chne0i 31509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
43	1	chshii 31283	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
44	43	norm1exi 31306	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
45	42, 44	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
46		1ex 11130	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
47		eqeq1 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
48	47	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
49	48	rexbidv 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
50	46, 49	elab 3633	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
51	41, 45, 50	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))})
52		breq2 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤 ↔ 𝑧 < 1))
53	52	rspcev 3575	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
54	51, 53	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ≠ 0ℋ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
55	54	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
56	55	ralrimivw 3131	. . 3 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57		nmopsetretHIL 31920	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59		ressxr 11178	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3942	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61		1xr 11193	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
62		supxr2 13231	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
63	60, 61, 62	mpanl12 703	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
64	28, 56, 63	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
65	4, 64	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2713   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5097  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  supcsup 9345  ℝcr 11027  1c1 11029  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   ℋchba 30975  norm_ℎcno 30979  0_ℎc0v 30980   C_ℋ cch 30985  0_ℋc0h 30991  proj_ℎcpjh 30993  norm_opcnop 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 31055  ax-hfvadd 31056  ax-hvcom 31057  ax-hvass 31058  ax-hv0cl 31059  ax-hvaddid 31060  ax-hfvmul 31061  ax-hvmulid 31062  ax-hvmulass 31063  ax-hvdistr1 31064  ax-hvdistr2 31065  ax-hvmul0 31066  ax-hfi 31135  ax-his1 31138  ax-his2 31139  ax-his3 31140  ax-his4 31141  ax-hcompl 31258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-lm 23175  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30549  df-gid 30550  df-ginv 30551  df-gdiv 30552  df-ablo 30601  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-vs 30655  df-nmcv 30656  df-ims 30657  df-dip 30757  df-ssp 30778  df-ph 30869  df-cbn 30919  df-hnorm 31024  df-hba 31025  df-hvsub 31027  df-hlim 31028  df-hcau 31029  df-sh 31263  df-ch 31277  df-oc 31308  df-ch0 31309  df-shs 31364  df-pjh 31451  df-nmop 31895

This theorem is referenced by:  pjbdlni  32205