Theorem pjnmopi 32630

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 32186	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		nmopval 32338	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		eqeq1 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
7	6	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
8	7	rexbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
9	5, 8	elab 3636	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
10		pjnorm 32206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
11	1, 10	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
12	1	pjhcli 31900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13		normcl 31607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15		normcl 31607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
16		1re 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		letr 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
18	16, 17	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
19	14, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
20	11, 19	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
21	20	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
23	22	biimparc 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
24	21, 23	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
25	24	expl 463	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
26	25	rexlimiv 3158	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
27	9, 26	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
28	27	rgen 3080	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
29	1	cheli 31714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
31	29, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
32		eqle 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
33	31, 32	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
34		pjid 32177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
35	1, 34	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
36	35	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) = 1)
39	37, 38	eqtr2d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))
40	30, 33, 39	jca32 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
41	40	reximi2 3097	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
42	1	chne0i 31935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
43	1	chshii 31709	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
44	43	norm1exi 31732	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
45	42, 44	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
46		1ex 11230	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
47		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
48	47	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
49	48	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
50	46, 49	elab 3636	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
51	41, 45, 50	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))})
52		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤 ↔ 𝑧 < 1))
53	52	rspcev 3579	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
54	51, 53	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ≠ 0ℋ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
55	54	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
56	55	ralrimivw 3160	. . 3 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57		nmopsetretHIL 32346	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59		ressxr 11280	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3943	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61		1xr 11295	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
62		supxr2 13368	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
63	60, 61, 62	mpanl12 715	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
64	28, 56, 63	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
65	4, 64	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  supcsup 9413  ℝcr 11126  1c1 11128  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   ℋchba 31401  norm_ℎcno 31405  0_ℎc0v 31406   C_ℋ cch 31411  0_ℋc0h 31417  proj_ℎcpjh 31419  norm_opcnop 31427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-lm 23458  df-haus 23544  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cfil 25487  df-cau 25488  df-cmet 25489  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-dip 31183  df-ssp 31204  df-ph 31295  df-cbn 31345  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-shs 31790  df-pjh 31877  df-nmop 32321

This theorem is used by:  pjbdlni  32631