Theorem pjnmopi 30510

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 30066	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		nmopval 30218	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
7	6	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
8	7	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
9	5, 8	elab 3609	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
10		pjnorm 30086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
11	1, 10	mpan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
12	1	pjhcli 29780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13		normcl 29487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15		normcl 29487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
16		1re 10975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		letr 11069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
18	16, 17	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
19	14, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
20	11, 19	mpand 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
21	20	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
23	22	biimparc 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
24	21, 23	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
25	24	expl 458	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
26	25	rexlimiv 3209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
27	9, 26	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
28	27	rgen 3074	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
29	1	cheli 29594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
31	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
32		eqle 11077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
33	31, 32	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
34		pjid 30057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
35	1, 34	mpan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
36	35	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
38		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) = 1)
39	37, 38	eqtr2d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))
40	30, 33, 39	jca32 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
41	40	reximi2 3175	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
42	1	chne0i 29815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
43	1	chshii 29589	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
44	43	norm1exi 29612	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
45	42, 44	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
46		1ex 10971	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
47		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
48	47	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
49	48	rexbidv 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
50	46, 49	elab 3609	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
51	41, 45, 50	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))})
52		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤 ↔ 𝑧 < 1))
53	52	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
54	51, 53	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ≠ 0ℋ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
55	54	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
56	55	ralrimivw 3104	. . 3 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57		nmopsetretHIL 30226	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59		ressxr 11019	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3930	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61		1xr 11034	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
62		supxr2 13048	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
63	60, 61, 62	mpanl12 699	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
64	28, 56, 63	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
65	4, 64	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  supcsup 9199  ℝcr 10870  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   ℋchba 29281  norm_ℎcno 29285  0_ℎc0v 29286   C_ℋ cch 29291  0_ℋc0h 29297  proj_ℎcpjh 29299  norm_opcnop 29307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-pjh 29757  df-nmop 30201

This theorem is referenced by:  pjbdlni  30511