Theorem pjnmopi 32780

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 32336	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		nmopval 32488	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
7	6	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
8	7	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
9	5, 8	elab 3636	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
10		pjnorm 32356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
11	1, 10	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
12	1	pjhcli 32050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13		normcl 31757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15		normcl 31757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
16		1re 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		letr 11431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
18	16, 17	mp3an3 1480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
19	14, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
20	11, 19	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
21	20	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22		breq1 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
23	22	biimparc 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
24	21, 23	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
25	24	expl 463	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
26	25	rexlimiv 3160	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
27	9, 26	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
28	27	rgen 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
29	1	cheli 31864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
31	29, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
32		eqle 11439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
33	31, 32	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
34		pjid 32327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
35	1, 34	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
36	35	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) = 1)
39	37, 38	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))
40	30, 33, 39	jca32 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
41	40	reximi2 3099	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
42	1	chne0i 32085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
43	1	chshii 31859	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
44	43	norm1exi 31882	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
45	42, 44	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
46		1ex 11330	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
47		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
48	47	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
49	48	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
50	46, 49	elab 3636	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
51	41, 45, 50	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))})
52		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤 ↔ 𝑧 < 1))
53	52	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
54	51, 53	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ≠ 0ℋ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
55	54	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
56	55	ralrimivw 3162	. . 3 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57		nmopsetretHIL 32496	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59		ressxr 11380	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3922	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61		1xr 11395	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
62		supxr2 13471	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
63	60, 61, 62	mpanl12 715	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
64	28, 56, 63	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
65	4, 64	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  supcsup 9459  ℝcr 11226  1c1 11228  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371   ℋchba 31551  norm_ℎcno 31555  0_ℎc0v 31556   C_ℋ cch 31561  0_ℋc0h 31567  proj_ℎcpjh 31569  norm_opcnop 31577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-shs 31940  df-pjh 32027  df-nmop 32471

This theorem is used by:  pjbdlni  32781