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Theorem pjnmopi 31401
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnmopi (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4 𝐻C
21pjfi 30957 . . 3 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
3 nmopval 31109 . . 3 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
42, 3ax-mp 5 . 2 (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 vex 3479 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
6 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
76anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
87rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
95, 8elab 3669 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
10 pjnorm 30977 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻C𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
111, 10mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
121pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13 normcl 30378 . . . . . . . . . . . 12 (((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15 normcl 30378 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
16 1re 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
17 letr 11308 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1816, 17mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1914, 15, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2011, 19mpand 694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ≤ 1 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2120imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2322biimparc 481 . . . . . . . 8 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2421, 23sylan 581 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2524expl 459 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
2625rexlimiv 3149 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
279, 26sylbi 216 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
2827rgen 3064 . . 3 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
291cheli 30485 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻 → (norm𝑦) ∈ ℝ)
32 eqle 11316 . . . . . . . . . 10 (((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
34 pjid 30948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑦𝐻) → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
351, 34mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐻 → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐻 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
3736adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) = 1)
3937, 38eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))
4030, 33, 39jca32 517 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4140reximi2 3080 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
421chne0i 30706 . . . . . . . 8 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0)
431chshii 30480 . . . . . . . . 9 𝐻S
4443norm1exi 30503 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
4542, 44bitri 275 . . . . . . 7 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
46 1ex 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ V
47 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
4847anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4948rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
5046, 49elab 3669 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
5141, 45, 503imtr4i 292 . . . . . 6 (𝐻 ≠ 0 → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))})
52 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤𝑧 < 1))
5352rspcev 3613 . . . . . 6 ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5451, 53sylan 581 . . . . 5 ((𝐻 ≠ 0𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5554ex 414 . . . 4 (𝐻 ≠ 0 → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
5655ralrimivw 3151 . . 3 (𝐻 ≠ 0 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57 nmopsetretHIL 31117 . . . . . 6 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
582, 57ax-mp 5 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59 ressxr 11258 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3992 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61 1xr 11273 . . . 4 1 ∈ ℝ*
62 supxr2 13293 . . . 4 ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6360, 61, 62mpanl12 701 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6428, 56, 63sylancr 588 . 2 (𝐻 ≠ 0 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
654, 64eqtrid 2785 1 (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949   class class class wbr 5149  wf 6540  cfv 6544  supcsup 9435  cr 11109  1c1 11111  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  chba 30172  normcno 30176  0c0v 30177   C cch 30182  0c0h 30188  projcpjh 30190  normopcnop 30198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648  df-nmop 31092
This theorem is referenced by:  pjbdlni  31402
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