HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 31610
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 𝐴C
h1datom.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1datomi (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 𝐴C
21chne0i 31482 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0)
3 ssel 3989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
54h1de2ci 31585 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵))
6 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
7 ax-hvmul0 31039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 · 𝐵) = 0
96, 8eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = 0)
10 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝐵) = 0))
119, 10imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0))
1211necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
14 reccl 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
151chshii 31256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
16 shmulcl 31247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴S ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1715, 16mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1817ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
21 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 ax-hvmulass 31036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
244, 23mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
2514, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
26 recid2 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
2726oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2825, 27eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = (1 · 𝐵))
29 ax-hvmulid 31035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 · 𝐵) = 𝐵
3128, 30eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = 𝐵)
3221, 31sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = 𝐵)
3332eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴𝐵𝐴))
3420, 33sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
3534exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3736imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4039expd 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))))
4140rexlimdv 3151 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
425, 41biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4443rexlimdv 3151 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))
452, 44biimtrid 242 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐵𝐴))
46 snssi 4813 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47 snssi 4813 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
491chssii 31260 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ ℋ
5048, 49occon2i 31318 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
521ococi 31434 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
5351, 52sseqtrdi 4046 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5554anc2li 555 . . . 4 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56 eqss 4011 . . . 4 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5755, 56imbitrrdi 252 . . 3 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5857necon1d 2960 . 2 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
59 neor 3032 . 2 ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
6058, 59sylibr 234 1 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  chba 30948   · csm 30950  0c0v 30953   S csh 30957   C cch 30958  cort 30959  0c0h 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282
This theorem is referenced by:  h1datom  31611
  Copyright terms: Public domain W3C validator