Theorem h1datomi 31652

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chne0i 31524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
3		ssel 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	4	h1de2ci 31627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵))
6		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 31081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
9	6, 8	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
10		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = 0ℎ ↔ (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	9, 10	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
12	11	necon3d 2953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
14		reccl 11816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
15	1	chshii 31298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		shmulcl 31289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
17	15, 16	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
21		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		ax-hvmulass 31078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
24	4, 23	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
25	14, 22, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
26		recid2 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
27	26	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
29		ax-hvmulid 31077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
31	28, 30	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
32	21, 31	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = 𝐵)
33	32	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
34	20, 33	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
35	34	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
37	36	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
38	13, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
39	38	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
40	39	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))))
41	40	rexlimdv 3136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
42	5, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
44	43	rexlimdv 3136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))
45	2, 44	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐴))
46		snssi 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47		snssi 4729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
49	1	chssii 31302	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
50	48, 49	occon2i 31360	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
52	1	ococi 31476	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
53	51, 52	sseqtrdi 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
54	45, 53	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
55	54	anc2li 555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56		eqss 3937	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
57	55, 56	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
58	57	necon1d 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
59		neor 3024	. 2 ⊢ ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
60	58, 59	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807   ℋchba 30990   ·_ℎ csm 30992  0_ℎc0v 30995   S_ℋ csh 30999   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001  0_ℋc0h 31006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324

This theorem is referenced by:  h1datom  31653