HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 31101
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
h1datom.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1datomi (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
21chne0i 30973 . . . . . . 7 (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
3 ssel 3974 . . . . . . . . 9 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ โ„‹
54h1de2ci 31076 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต))
6 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
7 ax-hvmul0 30530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž
96, 8eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
10 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†” (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
119, 10imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
1211necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
14 reccl 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
151chshii 30747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
16 shmulcl 30738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1715, 16mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1817ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
21 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
22 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
23 ax-hvmulass 30527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
244, 23mp3an3 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
2514, 22, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
26 recid2 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) = 1)
2726oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
2825, 27eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
29 ax-hvmulid 30526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต
3128, 30eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
3221, 31sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐ต)
3332eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด โ†” ๐ต โˆˆ ๐ด))
3420, 33sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
3534exp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3736imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4039expd 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
4140rexlimdv 3151 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
425, 41biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4443rexlimdv 3151 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
452, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
46 snssi 4810 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ {๐ต} โŠ† ๐ด)
47 snssi 4810 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ {๐ต} โŠ† โ„‹)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {๐ต} โŠ† โ„‹
491chssii 30751 . . . . . . . . 9 ๐ด โŠ† โ„‹
5048, 49occon2i 30809 . . . . . . . 8 ({๐ต} โŠ† ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
521ococi 30925 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)) = ๐ด
5351, 52sseqtrdi 4031 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5554anc2li 554 . . . 4 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)))
56 eqss 3996 . . . 4 (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5755, 56imbitrrdi 251 . . 3 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5857necon1d 2960 . 2 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
59 neor 3032 . 2 ((๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹) โ†” (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
6058, 59sylibr 233 1 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875   โ„‹chba 30439   ยทโ„Ž csm 30441  0โ„Žc0v 30444   Sโ„‹ csh 30448   Cโ„‹ cch 30449  โŠฅcort 30450  0โ„‹c0h 30455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773
This theorem is referenced by:  h1datom  31102
  Copyright terms: Public domain W3C validator