Theorem h1datomi 31517

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chne0i 31389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
3		ssel 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	4	h1de2ci 31492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵))
6		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 30946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
9	6, 8	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
10		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = 0ℎ ↔ (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	9, 10	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
12	11	necon3d 2947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
14		reccl 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
15	1	chshii 31163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		shmulcl 31154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
17	15, 16	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
21		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		ax-hvmulass 30943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
24	4, 23	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
25	14, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
26		recid2 11859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
27	26	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
29		ax-hvmulid 30942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
31	28, 30	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
32	21, 31	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = 𝐵)
33	32	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
34	20, 33	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
35	34	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
37	36	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
38	13, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
39	38	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
40	39	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))))
41	40	rexlimdv 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
42	5, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
44	43	rexlimdv 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))
45	2, 44	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐴))
46		snssi 4775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47		snssi 4775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
49	1	chssii 31167	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
50	48, 49	occon2i 31225	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
52	1	ococi 31341	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
53	51, 52	sseqtrdi 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
54	45, 53	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
55	54	anc2li 555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56		eqss 3965	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
57	55, 56	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
58	57	necon1d 2948	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
59		neor 3018	. 2 ⊢ ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
60	58, 59	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842   ℋchba 30855   ·_ℎ csm 30857  0_ℎc0v 30860   S_ℋ csh 30864   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866  0_ℋc0h 30871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189

This theorem is referenced by:  h1datom  31518