HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 30812
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 𝐴C
h1datom.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1datomi (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 𝐴C
21chne0i 30684 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0)
3 ssel 3974 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
54h1de2ci 30787 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵))
6 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
7 ax-hvmul0 30241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 · 𝐵) = 0
96, 8eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = 0)
10 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝐵) = 0))
119, 10imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0))
1211necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
14 reccl 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
151chshii 30458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
16 shmulcl 30449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴S ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1715, 16mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1817ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
21 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
22 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 ax-hvmulass 30238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
244, 23mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
2514, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
26 recid2 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
2726oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2825, 27eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = (1 · 𝐵))
29 ax-hvmulid 30237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 · 𝐵) = 𝐵
3128, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = 𝐵)
3221, 31sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = 𝐵)
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴𝐵𝐴))
3420, 33sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
3534exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4039expd 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))))
4140rexlimdv 3154 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
425, 41biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4443rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))
452, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐵𝐴))
46 snssi 4810 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47 snssi 4810 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
491chssii 30462 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ ℋ
5048, 49occon2i 30520 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
521ococi 30636 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
5351, 52sseqtrdi 4031 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5554anc2li 557 . . . 4 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56 eqss 3996 . . . 4 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5755, 56syl6ibr 252 . . 3 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5857necon1d 2963 . 2 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
59 neor 3035 . 2 ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
6058, 59sylibr 233 1 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  wss 3947  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11867  chba 30150   · csm 30152  0c0v 30155   S csh 30159   C cch 30160  cort 30161  0c0h 30166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484
This theorem is referenced by:  h1datom  30813
  Copyright terms: Public domain W3C validator