Theorem h1datomi 30523

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chne0i 30395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
3		ssel 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	4	h1de2ci 30498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵))
6		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 29952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
9	6, 8	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
10		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = 0ℎ ↔ (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	9, 10	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
12	11	necon3d 2964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
14		reccl 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
15	1	chshii 30169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		shmulcl 30160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
17	15, 16	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
18	17	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
21		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
22		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		ax-hvmulass 29949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
24	4, 23	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
25	14, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
26		recid2 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
27	26	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
29		ax-hvmulid 29948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
31	28, 30	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
32	21, 31	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = 𝐵)
33	32	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
34	20, 33	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
35	34	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
37	36	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
38	13, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
39	38	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
40	39	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))))
41	40	rexlimdv 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
42	5, 41	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
44	43	rexlimdv 3150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))
45	2, 44	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐴))
46		snssi 4768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47		snssi 4768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
49	1	chssii 30173	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
50	48, 49	occon2i 30231	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
52	1	ococi 30347	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
53	51, 52	sseqtrdi 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
54	45, 53	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
55	54	anc2li 556	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56		eqss 3959	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
57	55, 56	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
58	57	necon1d 2965	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
59		neor 3036	. 2 ⊢ ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
60	58, 59	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   / cdiv 11812   ℋchba 29861   ·_ℎ csm 29863  0_ℎc0v 29866   S_ℋ csh 29870   C_ℋ cch 29871  ⊥cort 29872  0_ℋc0h 29877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195

This theorem is referenced by:  h1datom  30524