Theorem h1datomi 30822

Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datomi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datomi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1datom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chne0i 30694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
3		ssel 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	4	h1de2ci 30797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵))
6		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 30251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ
9	6, 8	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
10		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = 0ℎ ↔ (𝑦 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	9, 10	imbitrrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
12	11	necon3d 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
13	12	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝑦 ≠ 0))
14		reccl 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
15	1	chshii 30468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		shmulcl 30459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
17	15, 16	mp3an1 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴)
18	17	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
20	19	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴))
21		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
22		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		ax-hvmulass 30248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
24	4, 23	mp3an3 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
25	14, 22, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)))
26		recid2 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
27	26	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
29		ax-hvmulid 30247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
31	28, 30	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) ·ℎ (𝑦 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
32	21, 31	sylan9eqr 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → ((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) = 𝐵)
33	32	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (((1 / 𝑦) ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
34	20, 33	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
35	34	exp31 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
37	36	imp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
38	13, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
39	38	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
40	39	expd 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))))
41	40	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
42	5, 41	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
43	3, 42	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴)))
44	43	rexlimdv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → 𝐵 ∈ 𝐴))
45	2, 44	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐴))
46		snssi 4811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47		snssi 4811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
48	4, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
49	1	chssii 30472	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
50	48, 49	occon2i 30530	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
52	1	ococi 30646	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
53	51, 52	sseqtrdi 4032	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
54	45, 53	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
55	54	anc2li 557	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56		eqss 3997	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
57	55, 56	syl6ibr 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
58	57	necon1d 2963	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
59		neor 3035	. 2 ⊢ ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0ℋ))
60	58, 59	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   / cdiv 11868   ℋchba 30160   ·_ℎ csm 30162  0_ℎc0v 30165   S_ℋ csh 30169   C_ℋ cch 30170  ⊥cort 30171  0_ℋc0h 30176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cfil 24764  df-cau 24765  df-cmet 24766  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ssp 29963  df-ph 30054  df-cbn 30104  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-hcau 30214  df-sh 30448  df-ch 30462  df-oc 30493  df-ch0 30494

This theorem is referenced by:  h1datom  30823