HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 30328
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
h1datom.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1datomi (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
21chne0i 30200 . . . . . . 7 (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
3 ssel 3936 . . . . . . . . 9 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ โ„‹
54h1de2ci 30303 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต))
6 oveq1 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
7 ax-hvmul0 29757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž
96, 8eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
10 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†” (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
119, 10syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
1211necon3d 2963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
14 reccl 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
151chshii 29974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
16 shmulcl 29965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1715, 16mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1817ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
21 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
22 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
23 ax-hvmulass 29754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
244, 23mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
2514, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
26 recid2 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) = 1)
2726oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
2825, 27eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
29 ax-hvmulid 29753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต
3128, 30eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
3221, 31sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐ต)
3332eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด โ†” ๐ต โˆˆ ๐ด))
3420, 33sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
3534exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4039expd 417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
4140rexlimdv 3149 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
425, 41biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4443rexlimdv 3149 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
452, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
46 snssi 4767 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ {๐ต} โŠ† ๐ด)
47 snssi 4767 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ {๐ต} โŠ† โ„‹)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {๐ต} โŠ† โ„‹
491chssii 29978 . . . . . . . . 9 ๐ด โŠ† โ„‹
5048, 49occon2i 30036 . . . . . . . 8 ({๐ต} โŠ† ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
521ococi 30152 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)) = ๐ด
5351, 52sseqtrdi 3993 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5554anc2li 557 . . . 4 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)))
56 eqss 3958 . . . 4 (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5755, 56syl6ibr 252 . . 3 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5857necon1d 2964 . 2 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
59 neor 3035 . 2 ((๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹) โ†” (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
6058, 59sylibr 233 1 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   โŠ† wss 3909  {csn 4585  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   ยท cmul 10990   / cdiv 11746   โ„‹chba 29666   ยทโ„Ž csm 29668  0โ„Žc0v 29671   Sโ„‹ csh 29675   Cโ„‹ cch 29676  โŠฅcort 29677  0โ„‹c0h 29682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065  ax-hilex 29746  ax-hfvadd 29747  ax-hvcom 29748  ax-hvass 29749  ax-hv0cl 29750  ax-hvaddid 29751  ax-hfvmul 29752  ax-hvmulid 29753  ax-hvmulass 29754  ax-hvdistr1 29755  ax-hvdistr2 29756  ax-hvmul0 29757  ax-hfi 29826  ax-his1 29829  ax-his2 29830  ax-his3 29831  ax-his4 29832  ax-hcompl 29949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-sum 15507  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-lm 22508  df-haus 22594  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cfil 24547  df-cau 24548  df-cmet 24549  df-grpo 29240  df-gid 29241  df-ginv 29242  df-gdiv 29243  df-ablo 29292  df-vc 29306  df-nv 29339  df-va 29342  df-ba 29343  df-sm 29344  df-0v 29345  df-vs 29346  df-nmcv 29347  df-ims 29348  df-dip 29448  df-ssp 29469  df-ph 29560  df-cbn 29610  df-hnorm 29715  df-hba 29716  df-hvsub 29718  df-hlim 29719  df-hcau 29720  df-sh 29954  df-ch 29968  df-oc 29999  df-ch0 30000
This theorem is referenced by:  h1datom  30329
  Copyright terms: Public domain W3C validator