HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 30834
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
h1datom.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
h1datomi (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
21chne0i 30706 . . . . . . 7 (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
3 ssel 3976 . . . . . . . . 9 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ โ„‹
54h1de2ci 30809 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต))
6 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
7 ax-hvmul0 30263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž
96, 8eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
10 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†” (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
119, 10imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
1211necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
14 reccl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
151chshii 30480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
16 shmulcl 30471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1715, 16mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
1817ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด))
21 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
22 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
23 ax-hvmulass 30260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
244, 23mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
2514, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)))
26 recid2 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) = 1)
2726oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
2825, 27eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
29 ax-hvmulid 30259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต
3128, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
3221, 31sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐ต)
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (((1 / ๐‘ฆ) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด โ†” ๐ต โˆˆ ๐ด))
3420, 33sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
3534exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4039expd 417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))))
4140rexlimdv 3154 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
425, 41biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4443rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
452, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด))
46 snssi 4812 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ {๐ต} โŠ† ๐ด)
47 snssi 4812 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ {๐ต} โŠ† โ„‹)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {๐ต} โŠ† โ„‹
491chssii 30484 . . . . . . . . 9 ๐ด โŠ† โ„‹
5048, 49occon2i 30542 . . . . . . . 8 ({๐ต} โŠ† ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)))
521ococi 30658 . . . . . . 7 (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜๐ด)) = ๐ด
5351, 52sseqtrdi 4033 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5554anc2li 557 . . . 4 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด)))
56 eqss 3998 . . . 4 (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆง (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โŠ† ๐ด))
5755, 56syl6ibr 252 . . 3 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  0โ„‹ โ†’ ๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต}))))
5857necon1d 2963 . 2 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
59 neor 3035 . 2 ((๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹) โ†” (๐ด โ‰  (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ ๐ด = 0โ„‹))
6058, 59sylibr 233 1 (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โ†’ (๐ด = (โŠฅโ€˜(โŠฅโ€˜{๐ต})) โˆจ ๐ด = 0โ„‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   / cdiv 11871   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174  0โ„Žc0v 30177   Sโ„‹ csh 30181   Cโ„‹ cch 30182  โŠฅcort 30183  0โ„‹c0h 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506
This theorem is referenced by:  h1datom  30835
  Copyright terms: Public domain W3C validator