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Theorem riesz3i 31293
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Distinct variable group:   𝑀,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30234 . . 3 0β„Ž ∈ β„‹
2 nlelch.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 31272 . . . . . 6 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
4 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))) = (βŠ₯β€˜0β„‹))
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContFn
62, 5nlelchi 31292 . . . . . . . . . 10 (nullβ€˜π‘‡) ∈ Cβ„‹
76ococi 30636 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))) = (nullβ€˜π‘‡)
8 choc0 30557 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜0β„‹) = β„‹
94, 7, 83eqtr3g 2796 . . . . . . . 8 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ β†’ (nullβ€˜π‘‡) = β„‹)
109eleq2d 2820 . . . . . . 7 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ β†’ (𝑣 ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ 𝑣 ∈ β„‹))
1110biimpar 479 . . . . . 6 (((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ 𝑣 ∈ (nullβ€˜π‘‡))
12 elnlfn2 31160 . . . . . 6 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑣 ∈ (nullβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) = 0)
133, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 (((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) = 0)
14 hi02 30328 . . . . . 6 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (𝑣 Β·ih 0β„Ž) = 0)
1514adantl 483 . . . . 5 (((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih 0β„Ž) = 0)
1613, 15eqtr4d 2776 . . . 4 (((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž))
1716ralrimiva 3147 . . 3 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž))
18 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑀 = 0β„Ž β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž))
1918eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑀 = 0β„Ž β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž)))
2019ralbidv 3178 . . . 4 (𝑀 = 0β„Ž β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž)))
2120rspcev 3612 . . 3 ((0β„Ž ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 0β„Ž)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
221, 17, 21sylancr 588 . 2 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) = 0β„‹ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
236choccli 30538 . . . 4 (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∈ Cβ„‹
2423chne0i 30684 . . 3 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) β‰  0β„‹ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))𝑒 β‰  0β„Ž)
2523cheli 30463 . . . . 5 (𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
263ffvelcdmi 7081 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ (π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚)
28 hicl 30311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
2928anidms 568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ β„‹ β†’ (𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
31 his6 30330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ β„‹ β†’ ((𝑒 Β·ih 𝑒) = 0 ↔ 𝑒 = 0β„Ž))
3231necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ β„‹ β†’ ((𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0 ↔ 𝑒 β‰  0β„Ž))
3332biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0)
3427, 30, 33divcld 11986 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
3534cjcld 15139 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ (βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) ∈ β„‚)
36 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
37 hvmulcl 30244 . . . . . . . . 9 (((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
3938adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
40 hvmulcl 30244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) ∈ β„‹)
4126, 40sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) ∈ β„‹)
423ffvelcdmi 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
43 hvmulcl 30244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
4442, 43sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
4544ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
46 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
47 his2sub 30323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) Β·ih 𝑒) βˆ’ (((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
4841, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) Β·ih 𝑒) βˆ’ (((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
4926adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚)
50 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ 𝑣 ∈ β„‹)
51 ax-his3 30315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) Β·ih 𝑒) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5249, 50, 46, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) Β·ih 𝑒) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
54 ax-his3 30315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)))
5553, 46, 46, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)))
5652, 55oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) Β·ih 𝑒) βˆ’ (((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
5748, 56eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))) = ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒))
5857adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))) = ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒))
59 hvsubcl 30248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ β„‹)
6041, 45, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ β„‹)
612lnfnsubi 31277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = ((π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣)) βˆ’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))))
6241, 45, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = ((π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣)) βˆ’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))))
632lnfnmuli 31275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
6426, 63sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
652lnfnmuli 31275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (π‘‡β€˜π‘’)))
66 mulcom 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (π‘‡β€˜π‘’)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
6726, 66sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (π‘‡β€˜π‘’)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
6865, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
6942, 68sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
7069ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)))
7164, 70oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣)) βˆ’ (π‘‡β€˜((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£))))
72 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)) ∈ β„‚)
7326, 42, 72syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)) ∈ β„‚)
7473subidd 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (π‘‡β€˜π‘£))) = 0)
7562, 71, 743eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = 0)
76 elnlfn 31159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜(((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = 0)))
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ (nullβ€˜π‘‡) ↔ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜(((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒))) = 0))
7860, 75, 77sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ (nullβ€˜π‘‡))
796chssii 30462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹
80 ocorth 30522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((nullβ€˜π‘‡) βŠ† β„‹ β†’ (((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ (nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) ∈ (nullβ€˜π‘‡) ∧ 𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = 0)
8278, 81sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = 0)
8382ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ (𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹)) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = 0)
8483anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β·β„Ž 𝑣) βˆ’β„Ž ((π‘‡β€˜π‘£) Β·β„Ž 𝑒)) Β·ih 𝑒) = 0)
8558, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))) = 0)
86 hicl 30311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
8786ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
8849, 87mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
89 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
9042, 29, 89syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
9188, 90subeq0ad 11577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))) = 0 ↔ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
9291adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))) = 0 ↔ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
9385, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)))
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒)))
9588adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
9642adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
9730, 33jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ ((𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0))
9897adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0))
99 divmul3 11873 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚ ∧ ((𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0)) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (π‘‡β€˜π‘£) ↔ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (π‘‡β€˜π‘£) ↔ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
101100adantlll 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (π‘‡β€˜π‘£) ↔ ((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) = ((π‘‡β€˜π‘£) Β· (𝑒 Β·ih 𝑒))))
10294, 101mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (π‘‡β€˜π‘£))
10327adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚)
10487adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚)
105 div23 11887 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‡β€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ (𝑣 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚ ∧ ((𝑒 Β·ih 𝑒) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 Β·ih 𝑒) β‰  0)) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
106103, 104, 98, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
10734adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚)
108 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ 𝑣 ∈ β„‹)
109 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
110 his52 30318 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)) = (((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
111107, 108, 109, 110syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)) = (((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)))
112106, 111eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)))
113112adantlll 717 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’) Β· (𝑣 Β·ih 𝑒)) / (𝑒 Β·ih 𝑒)) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)))
114102, 113eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑣 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)))
115114ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)))
116 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒)))
117116eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑀 = ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒))))
118117ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒))))
119118rspcev 3612 . . . . . . 7 ((((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih ((βˆ—β€˜((π‘‡β€˜π‘’) / (𝑒 Β·ih 𝑒))) Β·β„Ž 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
12039, 115, 119syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) ∧ 𝑒 β‰  0β„Ž) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
121120ex 414 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑒 β‰  0β„Ž β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)))
12225, 121mpdan 686 . . . 4 (𝑒 ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑒 β‰  0β„Ž β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)))
123122rexlimiv 3149 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ (βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡))𝑒 β‰  0β„Ž β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
12424, 123sylbi 216 . 2 ((βŠ₯β€˜(nullβ€˜π‘‡)) β‰  0β„‹ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀))
12522, 124pm2.61ine 3026 1 βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3947  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  0cc0 11106   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  βˆ—ccj 15039   β„‹chba 30150   Β·β„Ž csm 30152   Β·ih csp 30153  0β„Žc0v 30155   βˆ’β„Ž cmv 30156  βŠ₯cort 30161  0β„‹c0h 30166  nullcnl 30183  ContFnccnfn 30184  LinFnclf 30185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-nlfn 31077  df-cnfn 31078  df-lnfn 31079
This theorem is referenced by:  riesz4i  31294  riesz1  31296
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