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Theorem riesz3i 31004
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29945 . . 3 0 ∈ ℋ
2 nlelch.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 30983 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
4 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (⊥‘0))
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContFn
62, 5nlelchi 31003 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ∈ C
76ococi 30347 . . . . . . . . 9 (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (null‘𝑇)
8 choc0 30268 . . . . . . . . 9 (⊥‘0) = ℋ
94, 7, 83eqtr3g 2799 . . . . . . . 8 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (null‘𝑇) = ℋ)
109eleq2d 2823 . . . . . . 7 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (𝑣 ∈ (null‘𝑇) ↔ 𝑣 ∈ ℋ))
1110biimpar 478 . . . . . 6 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ (null‘𝑇))
12 elnlfn2 30871 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑣 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇𝑣) = 0)
133, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = 0)
14 hi02 30039 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1514adantl 482 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1613, 15eqtr4d 2779 . . . 4 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
1716ralrimiva 3143 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
18 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 0))
1918eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2019ralbidv 3174 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2120rspcev 3581 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
221, 17, 21sylancr 587 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
236choccli 30249 . . . 4 (⊥‘(null‘𝑇)) ∈ C
2423chne0i 30395 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 ↔ ∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0)
2523cheli 30174 . . . . 5 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → 𝑢 ∈ ℋ)
263ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
28 hicl 30022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
2928anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
31 his6 30041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) = 0 ↔ 𝑢 = 0))
3231necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0 ↔ 𝑢 ≠ 0))
3332biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)
3427, 30, 33divcld 11931 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
3534cjcld 15081 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ)
36 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → 𝑢 ∈ ℋ)
37 hvmulcl 29955 . . . . . . . . 9 (((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3938adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
40 hvmulcl 29955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
4126, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
423ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
43 hvmulcl 29955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4442, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4544ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
46 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
47 his2sub 30034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4841, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4926adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
50 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
51 ax-his3 30026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5249, 50, 46, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
54 ax-his3 30026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5553, 46, 46, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5652, 55oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
5748, 56eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
5857adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
59 hvsubcl 29959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
6041, 45, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
612lnfnsubi 30988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
6241, 45, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
632lnfnmuli 30986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6426, 63sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
652lnfnmuli 30986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)))
66 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6726, 66sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6865, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6942, 68sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7069ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7164, 70oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))) = (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))))
72 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7326, 42, 72syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7473subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))) = 0)
7562, 71, 743eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)
76 elnlfn 30870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)))
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0))
7860, 75, 77sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇))
796chssii 30173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
80 ocorth 30233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((null‘𝑇) ⊆ ℋ → (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8278, 81sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8382ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ (𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8483anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8558, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0)
86 hicl 30022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8786ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8849, 87mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
89 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9042, 29, 89syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9188, 90subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9291adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9385, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9493adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9588adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9642adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
9730, 33jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
99 divmul3 11818 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
101100adantlll 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10294, 101mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣))
10327adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
10487adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
105 div23 11832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
106103, 104, 98, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
10734adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
108 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
109 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
110 his52 30029 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
111107, 108, 109, 110syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
112106, 111eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
113112adantlll 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
114102, 113eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
115114ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
116 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
117116eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
118117ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
119118rspcev 3581 . . . . . . 7 ((((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12039, 115, 119syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
121120ex 413 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
12225, 121mpdan 685 . . . 4 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
123122rexlimiv 3145 . . 3 (∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12424, 123sylbi 216 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12522, 124pm2.61ine 3028 1 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  ccj 14981  chba 29861   · csm 29863   ·ih csp 29864  0c0v 29866   cmv 29867  cort 29872  0c0h 29877  nullcnl 29894  ContFnccnfn 29895  LinFnclf 29896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-nlfn 30788  df-cnfn 30789  df-lnfn 30790
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