Theorem 1cossxrncnvepresex 38365

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon range Cartesian product to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cossxrncnvepresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem 1cossxrncnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrncnvepresex 38351	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
2		cossex 38362	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2104  Vcvv 3477   E cep 5581  ^◡ccnv 5682   ↾ cres 5685   ⋉ cxrn 38121   ≀ ccoss 38122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-eprel 5582  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fo 6564  df-fv 6566  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-xrn 38314  df-coss 38354

This theorem is referenced by:  pets  38795