Theorem 1cossxrncnvepresex 39189

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon range Cartesian product to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cossxrncnvepresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem 1cossxrncnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrncnvepresex 39108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
2		cossex 39186	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   E cep 5559  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662   ⋉ cxrn 38851   ≀ ccoss 38860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-xrn 39057  df-coss 39178

This theorem is used by:  pets  39643  dfpeters2  39651