Theorem 1cossxrncnvepresex 39016

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon range Cartesian product to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cossxrncnvepresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem 1cossxrncnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrncnvepresex 38935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
2		cossex 39013	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   E cep 5548  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   ⋉ cxrn 38678   ≀ ccoss 38687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-eprel 5549  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fo 6529  df-fv 6531  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-xrn 38884  df-coss 39005

This theorem is referenced by:  pets  39470  dfpeters2  39478