Theorem cosselrels 38896

Description: Cosets of sets are elements of the relations class. Implies ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ 𝑅 ∈ Rels ). (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselrels	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Proof of Theorem cosselrels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 38830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)
2		relcoss 38834	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝐴
3		elrelsrel 38763	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ( ≀ 𝐴 ∈ Rels ↔ Rel ≀ 𝐴))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ≀ 𝐴 ∈ Rels )
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  Rel wrel 5636   ≀ ccoss 38504   Rels crels 38506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-rels 38761  df-coss 38822

This theorem is referenced by:  cosscnvelrels  38898  dffunsALTV2  39090  dffunsALTV3  39091  dffunsALTV4  39092  elfunsALTV2  39099  elfunsALTV3  39100  elfunsALTV4  39101  elfunsALTV5  39102