Theorem cosselrels 38687

Description: Cosets of sets are elements of the relations class. Implies ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ 𝑅 ∈ Rels ). (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselrels	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Proof of Theorem cosselrels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 38621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)
2		relcoss 38625	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝐴
3		elrelsrel 38566	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ( ≀ 𝐴 ∈ Rels ↔ Rel ≀ 𝐴))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ≀ 𝐴 ∈ Rels )
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  Rel wrel 5627   ≀ ccoss 38322   Rels crels 38324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-rels 38564  df-coss 38613

This theorem is referenced by:  cosscnvelrels  38689  dffunsALTV2  38882  dffunsALTV3  38883  dffunsALTV4  38884  elfunsALTV2  38891  elfunsALTV3  38892  elfunsALTV4  38893  elfunsALTV5  38894