Theorem cosselrels 39113

Description: Cosets of sets are elements of the relations class. Implies ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ 𝑅 ∈ Rels ). (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselrels	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Proof of Theorem cosselrels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 39047	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)
2		relcoss 39051	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝐴
3		elrelsrel 38980	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ( ≀ 𝐴 ∈ Rels ↔ Rel ≀ 𝐴))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ≀ 𝐴 ∈ Rels )
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  Rel wrel 5667   ≀ ccoss 38721   Rels crels 38723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-rels 38978  df-coss 39039

This theorem is referenced by:  cosscnvelrels  39115  dffunsALTV2  39307  dffunsALTV3  39308  dffunsALTV4  39309  elfunsALTV2  39316  elfunsALTV3  39317  elfunsALTV4  39318  elfunsALTV5  39319