Theorem cosselrels 36351

Description: Cosets of sets are elements of the relations class. Implies ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ 𝑅 ∈ Rels ). (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselrels	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Proof of Theorem cosselrels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 36279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)
2		relcoss 36283	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝐴
3		elrelsrel 36342	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ( ≀ 𝐴 ∈ Rels ↔ Rel ≀ 𝐴))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ ( ≀ 𝐴 ∈ V → ≀ 𝐴 ∈ Rels )
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ Rels )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  Rel wrel 5556   ≀ ccoss 36070   Rels crels 36072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-coss 36274  df-rels 36340

This theorem is referenced by:  cosscnvelrels  36352  dffunsALTV2  36532  dffunsALTV3  36533  dffunsALTV4  36534  elfunsALTV2  36541  elfunsALTV3  36542  elfunsALTV4  36543  elfunsALTV5  36544