Theorem cnvexg 7771

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6012	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6172	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5600	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7751	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5804	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7601	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5247	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590  Rel wrel 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600

This theorem is referenced by:  cnvex  7772  relcnvexb  7773  cofunex2g  7792  tposexg  8056  cnven  8823  cnvct  8824  fopwdom  8867  domssex2  8924  domssex  8925  cnvfiALT  9101  mapfienlem2  9165  wemapwe  9455  hasheqf1oi  14066  brtrclfvcnv  14715  brcnvtrclfvcnv  14716  relexpcnv  14746  relexpnnrn  14756  relexpaddg  14764  imasle  17234  cnvps  18296  gsumvalx  18360  symginv  19010  tposmap  21606  metustel  23706  metustss  23707  metustfbas  23713  metuel2  23721  psmetutop  23723  restmetu  23726  itg2gt0  24925  nlfnval  30243  fnpreimac  31008  ffsrn  31064  pwrssmgc  31278  tocycfv  31376  elrspunidl  31606  rhmpreimacnlem  31834  eulerpartlemgs2  32347  orvcval  32424  coinfliprv  32449  cossex  36542  cosscnvex  36543  cnvelrels  36613  lkrval  37102  pw2f1o2val  40861  lmhmlnmsplit  40912  cnvcnvintabd  41208  clrellem  41230  relexpaddss  41326  cnvtrclfv  41332  rntrclfvRP  41339  xpexb  42072  sge0f1o  43920  smfco  44336  preimafvelsetpreimafv  44840  fundcmpsurinjlem2  44851