Theorem cnvexg 7970

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6118	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6295	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5669	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5889	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5288	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659  Rel wrel 5663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669

This theorem is used by:  cnvex  7971  relcnvexb  7972  cofunex2g  7996  tposexg  8295  cnven  9099  cnvct  9100  fopwdom  9142  domssex2  9194  domssex  9195  cnvfiALT  9366  mapfienlem2  9435  wemapwe  9735  hasheqf1oi  14536  brtrclfvcnv  15200  brcnvtrclfvcnv  15201  relexpcnv  15231  relexpnnrn  15241  relexpaddg  15249  imasle  17745  cnvps  18802  gsumvalx  18915  symginv  19667  tposmap  22827  metustel  24924  metustss  24925  metustfbas  24931  metuel2  24939  psmetutop  24941  restmetu  24944  itg2gt0  26136  oldfib  28820  nlfnval  32540  fnpreimac  33362  pwrssmgc  33660  tocycfv  33769  ply1degltdimlem  34365  algextdeglem8  34467  rhmpreimacnlem  34627  eulerpartlemgs2  35123  orvcval  35201  coinfliprv  35226  cossex  39707  cosscnvex  39708  cnvelrels  39774  lkrval  40411  aks6d1c2lem4  43443  aks6d1c6lem2  43487  aks6d1c6lem3  43488  pw2f1o2val  44312  lmhmlnmsplit  44355  cnvcnvintabd  44861  clrellem  44883  relexpaddss  44979  cnvtrclfv  44985  rntrclfvRP  44992  xpexb  45696  sge0f1o  47665  smfco  48085  preimafvelsetpreimafv  48743  fundcmpsurinjlem2  48754  grimcnv  49259  grlicsym  49384  imasubclem1  50551