MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvexg 7310
Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5685 . . 3 Rel 𝐴
2 relssdmrn 5842 . . 3 (Rel 𝐴𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)
4 df-rn 5288 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 rnexg 7296 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
64, 5syl5eqelr 2849 . . 3 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
7 dfdm4 5484 . . . 4 dom 𝐴 = ran 𝐴
8 dmexg 7295 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
97, 8syl5eqelr 2849 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
10 xpexg 7158 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
116, 9, 10syl2anc 579 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
12 ssexg 4965 . 2 ((𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
133, 11, 12sylancr 581 1 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3732   × cxp 5275  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  Rel wrel 5282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288
This theorem is referenced by:  cnvex  7311  relcnvexb  7312  cofunex2g  7329  tposexg  7569  cnven  8236  cnvct  8237  fopwdom  8275  domssex2  8327  domssex  8328  cnvfi  8455  mapfienlem2  8518  wemapwe  8809  hasheqf1oi  13344  brtrclfvcnv  14030  brcnvtrclfvcnv  14031  relexpcnv  14060  relexpnnrn  14070  relexpaddg  14078  imasle  16449  cnvps  17478  gsumvalx  17536  symginv  18085  tposmap  20540  metustel  22634  metustss  22635  metustfbas  22641  metuel2  22649  psmetutop  22651  restmetu  22654  itg2gt0  23818  nlfnval  29196  ffsrn  29953  eulerpartlemgs2  30889  orvcval  30967  coinfliprv  30992  cossex  34603  cosscnvex  34604  cnvelrels  34674  lkrval  35044  pw2f1o2val  38283  lmhmlnmsplit  38334  cnvcnvintabd  38581  clrellem  38604  relexpaddss  38685  cnvtrclfv  38691  rntrclfvRP  38698  xpexb  39330  sge0f1o  41236  smfco  41649
  Copyright terms: Public domain W3C validator