Theorem cnvexg 7900

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6089	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6251	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5654	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5867	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7729	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5276	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644  Rel wrel 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-dm 5653  df-rn 5654

This theorem is referenced by:  cnvex  7901  relcnvexb  7902  cofunex2g  7926  tposexg  8214  cnven  9008  cnvct  9009  fopwdom  9051  domssex2  9103  domssex  9104  cnvfiALT  9276  mapfienlem2  9346  wemapwe  9646  hasheqf1oi  14358  brtrclfvcnv  15011  brcnvtrclfvcnv  15012  relexpcnv  15042  relexpnnrn  15052  relexpaddg  15060  imasle  17544  cnvps  18601  gsumvalx  18701  symginv  19433  tposmap  22505  metustel  24598  metustss  24599  metustfbas  24605  metuel2  24613  psmetutop  24615  restmetu  24618  itg2gt0  25810  oldfib  28458  nlfnval  32041  fnpreimac  32833  ffsrn  32891  pwrssmgc  33139  tocycfv  33250  elrspunidl  33575  ply1degltdimlem  33880  algextdeglem8  33982  rhmpreimacnlem  34142  eulerpartlemgs2  34638  orvcval  34716  coinfliprv  34741  cossex  38969  cosscnvex  38970  cnvelrels  39036  lkrval  39673  aks6d1c2lem4  42705  aks6d1c6lem2  42749  aks6d1c6lem3  42750  pw2f1o2val  43577  lmhmlnmsplit  43625  cnvcnvintabd  44137  clrellem  44159  relexpaddss  44255  cnvtrclfv  44261  rntrclfvRP  44268  xpexb  44990  sge0f1o  46917  smfco  47337  preimafvelsetpreimafv  47955  fundcmpsurinjlem2  47966  grimcnv  48471  grlicsym  48596  imasubclem1  49686