Theorem cnvexg 7864

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6059	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6221	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5634	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5842	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7841	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5265	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624  Rel wrel 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634

This theorem is referenced by:  cnvex  7865  relcnvexb  7866  cofunex2g  7892  tposexg  8180  cnven  8965  cnvct  8966  fopwdom  9009  domssex2  9061  domssex  9062  cnvfiALT  9248  mapfienlem2  9315  wemapwe  9612  hasheqf1oi  14276  brtrclfvcnv  14929  brcnvtrclfvcnv  14930  relexpcnv  14960  relexpnnrn  14970  relexpaddg  14978  imasle  17445  cnvps  18502  gsumvalx  18568  symginv  19299  tposmap  22360  metustel  24454  metustss  24455  metustfbas  24461  metuel2  24469  psmetutop  24471  restmetu  24474  itg2gt0  25677  nlfnval  31843  fnpreimac  32628  ffsrn  32685  pwrssmgc  32955  tocycfv  33064  elrspunidl  33378  ply1degltdimlem  33597  algextdeglem8  33693  rhmpreimacnlem  33853  eulerpartlemgs2  34350  orvcval  34428  coinfliprv  34453  cossex  38398  cosscnvex  38399  cnvelrels  38474  lkrval  39069  aks6d1c2lem4  42103  aks6d1c6lem2  42147  aks6d1c6lem3  42148  pw2f1o2val  43015  lmhmlnmsplit  43063  cnvcnvintabd  43576  clrellem  43598  relexpaddss  43694  cnvtrclfv  43700  rntrclfvRP  43707  xpexb  44430  sge0f1o  46367  smfco  46787  preimafvelsetpreimafv  47376  fundcmpsurinjlem2  47387  grimcnv  47876  grlicsym  48001  imasubclem1  49093