Theorem cnvexg 7900

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6075	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6241	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5649	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5859	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5278	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  Rel wrel 5643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  cnvex  7901  relcnvexb  7902  cofunex2g  7928  tposexg  8219  cnven  9004  cnvct  9005  fopwdom  9049  domssex2  9101  domssex  9102  cnvfiALT  9290  mapfienlem2  9357  wemapwe  9650  hasheqf1oi  14316  brtrclfvcnv  14970  brcnvtrclfvcnv  14971  relexpcnv  15001  relexpnnrn  15011  relexpaddg  15019  imasle  17486  cnvps  18537  gsumvalx  18603  symginv  19332  tposmap  22344  metustel  24438  metustss  24439  metustfbas  24445  metuel2  24453  psmetutop  24455  restmetu  24458  itg2gt0  25661  nlfnval  31810  fnpreimac  32595  ffsrn  32652  pwrssmgc  32926  tocycfv  33066  elrspunidl  33399  ply1degltdimlem  33618  algextdeglem8  33714  rhmpreimacnlem  33874  eulerpartlemgs2  34371  orvcval  34449  coinfliprv  34474  cossex  38410  cosscnvex  38411  cnvelrels  38486  lkrval  39081  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c6lem2  42159  aks6d1c6lem3  42160  pw2f1o2val  43028  lmhmlnmsplit  43076  cnvcnvintabd  43589  clrellem  43611  relexpaddss  43707  cnvtrclfv  43713  rntrclfvRP  43720  xpexb  44443  sge0f1o  46380  smfco  46800  preimafvelsetpreimafv  47389  fundcmpsurinjlem2  47400  grimcnv  47888  grlicsym  48005  imasubclem1  49093