Theorem cnvexg 7947

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6121	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6287	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5695	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5905	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5322	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  Rel wrel 5689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-dm 5694  df-rn 5695

This theorem is referenced by:  cnvex  7948  relcnvexb  7949  cofunex2g  7975  tposexg  8266  cnven  9074  cnvct  9075  fopwdom  9121  domssex2  9178  domssex  9179  cnvfiALT  9380  mapfienlem2  9447  wemapwe  9738  hasheqf1oi  14391  brtrclfvcnv  15044  brcnvtrclfvcnv  15045  relexpcnv  15075  relexpnnrn  15085  relexpaddg  15093  imasle  17569  cnvps  18624  gsumvalx  18690  symginv  19421  tposmap  22464  metustel  24564  metustss  24565  metustfbas  24571  metuel2  24579  psmetutop  24581  restmetu  24584  itg2gt0  25796  nlfnval  31901  fnpreimac  32682  ffsrn  32741  pwrssmgc  32991  tocycfv  33130  elrspunidl  33457  ply1degltdimlem  33674  algextdeglem8  33766  rhmpreimacnlem  33884  eulerpartlemgs2  34383  orvcval  34461  coinfliprv  34486  cossex  38421  cosscnvex  38422  cnvelrels  38497  lkrval  39090  aks6d1c2lem4  42129  aks6d1c6lem2  42173  aks6d1c6lem3  42174  pw2f1o2val  43056  lmhmlnmsplit  43104  cnvcnvintabd  43618  clrellem  43640  relexpaddss  43736  cnvtrclfv  43742  rntrclfvRP  43749  xpexb  44478  sge0f1o  46402  smfco  46822  preimafvelsetpreimafv  47380  fundcmpsurinjlem2  47391  grimcnv  47884  grlicsym  47978