Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvexg 7615
 Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5938 . . 3 Rel 𝐴
2 relssdmrn 6092 . . 3 (Rel 𝐴𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)
4 df-rn 5534 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 rnexg 7599 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
64, 5eqeltrrid 2898 . . 3 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
7 dfdm4 5732 . . . 4 dom 𝐴 = ran 𝐴
8 dmexg 7598 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
97, 8eqeltrrid 2898 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
106, 9xpexd 7458 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
11 ssexg 5194 . 2 ((𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
123, 10, 11sylancr 590 1 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884   × cxp 5521  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  Rel wrel 5528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-dm 5533  df-rn 5534 This theorem is referenced by:  cnvex  7616  relcnvexb  7617  cofunex2g  7637  tposexg  7893  cnven  8572  cnvct  8573  fopwdom  8612  domssex2  8665  domssex  8666  cnvfi  8794  mapfienlem2  8857  wemapwe  9148  hasheqf1oi  13712  brtrclfvcnv  14359  brcnvtrclfvcnv  14360  relexpcnv  14389  relexpnnrn  14399  relexpaddg  14407  imasle  16791  cnvps  17817  gsumvalx  17881  symginv  18525  tposmap  21065  metustel  23160  metustss  23161  metustfbas  23167  metuel2  23175  psmetutop  23177  restmetu  23180  itg2gt0  24367  nlfnval  29667  fnpreimac  30437  ffsrn  30494  pwrssmgc  30709  tocycfv  30804  elrspunidl  31017  eulerpartlemgs2  31746  orvcval  31823  coinfliprv  31848  cossex  35817  cosscnvex  35818  cnvelrels  35888  lkrval  36377  pw2f1o2val  39967  lmhmlnmsplit  40018  cnvcnvintabd  40287  clrellem  40309  relexpaddss  40406  cnvtrclfv  40412  rntrclfvRP  40419  xpexb  41145  sge0f1o  43008  smfco  43421  preimafvelsetpreimafv  43892  fundcmpsurinjlem2  43903
 Copyright terms: Public domain W3C validator