Theorem cnvexg 7923

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6108	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6273	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5674	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7901	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5887	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7900	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7752	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5292	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  Rel wrel 5668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  cnvex  7924  relcnvexb  7925  cofunex2g  7949  tposexg  8238  cnven  9033  cnvct  9034  fopwdom  9076  domssex2  9128  domssex  9129  cnvfiALT  9299  mapfienlem2  9369  wemapwe  9669  hasheqf1oi  14401  brtrclfvcnv  15061  brcnvtrclfvcnv  15062  relexpcnv  15092  relexpnnrn  15102  relexpaddg  15110  imasle  17595  cnvps  18652  gsumvalx  18756  symginv  19496  tposmap  22644  metustel  24738  metustss  24739  metustfbas  24745  metuel2  24753  psmetutop  24755  restmetu  24758  itg2gt0  25950  oldfib  28601  nlfnval  32280  fnpreimac  33062  ffsrn  33119  pwrssmgc  33360  tocycfv  33469  elrspunidl  33776  ply1degltdimlem  34052  algextdeglem8  34154  rhmpreimacnlem  34314  eulerpartlemgs2  34811  orvcval  34889  coinfliprv  34914  cossex  39191  cosscnvex  39192  cnvelrels  39258  lkrval  39895  aks6d1c2lem4  42927  aks6d1c6lem2  42971  aks6d1c6lem3  42972  pw2f1o2val  43799  lmhmlnmsplit  43847  cnvcnvintabd  44359  clrellem  44381  relexpaddss  44477  cnvtrclfv  44483  rntrclfvRP  44490  xpexb  45195  sge0f1o  47129  smfco  47549  preimafvelsetpreimafv  48170  fundcmpsurinjlem2  48181  grimcnv  48686  grlicsym  48811  imasubclem1  49915