MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvexg 7857
Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 6054 . . 3 Rel 𝐴
2 relssdmrn 6218 . . 3 (Rel 𝐴𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)
4 df-rn 5642 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 rnexg 7837 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
64, 5eqeltrrid 2843 . . 3 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
7 dfdm4 5849 . . . 4 dom 𝐴 = ran 𝐴
8 dmexg 7836 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
97, 8eqeltrrid 2843 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
106, 9xpexd 7681 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
11 ssexg 5278 . 2 ((𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
123, 10, 11sylancr 587 1 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908   × cxp 5629  ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  Rel wrel 5636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642
This theorem is referenced by:  cnvex  7858  relcnvexb  7859  cofunex2g  7878  tposexg  8167  cnven  8973  cnvct  8974  fopwdom  9020  domssex2  9077  domssex  9078  cnvfiALT  9274  mapfienlem2  9338  wemapwe  9629  hasheqf1oi  14243  brtrclfvcnv  14881  brcnvtrclfvcnv  14882  relexpcnv  14912  relexpnnrn  14922  relexpaddg  14930  imasle  17397  cnvps  18459  gsumvalx  18523  symginv  19175  tposmap  21790  metustel  23890  metustss  23891  metustfbas  23897  metuel2  23905  psmetutop  23907  restmetu  23910  itg2gt0  25109  nlfnval  30709  fnpreimac  31473  ffsrn  31529  pwrssmgc  31743  tocycfv  31841  elrspunidl  32082  rhmpreimacnlem  32334  eulerpartlemgs2  32849  orvcval  32926  coinfliprv  32951  cossex  36848  cosscnvex  36849  cnvelrels  36924  lkrval  37517  pw2f1o2val  41301  lmhmlnmsplit  41352  cnvcnvintabd  41814  clrellem  41836  relexpaddss  41932  cnvtrclfv  41938  rntrclfvRP  41945  xpexb  42676  sge0f1o  44555  smfco  44975  preimafvelsetpreimafv  45512  fundcmpsurinjlem2  45523
  Copyright terms: Public domain W3C validator