Theorem cnvexg 7745

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6001	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6161	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5591	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7725	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5793	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5242	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581  Rel wrel 5585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591

This theorem is referenced by:  cnvex  7746  relcnvexb  7747  cofunex2g  7766  tposexg  8027  cnven  8777  cnvct  8778  fopwdom  8820  domssex2  8873  domssex  8874  cnvfiALT  9031  mapfienlem2  9095  wemapwe  9385  hasheqf1oi  13994  brtrclfvcnv  14643  brcnvtrclfvcnv  14644  relexpcnv  14674  relexpnnrn  14684  relexpaddg  14692  imasle  17151  cnvps  18211  gsumvalx  18275  symginv  18925  tposmap  21514  metustel  23612  metustss  23613  metustfbas  23619  metuel2  23627  psmetutop  23629  restmetu  23632  itg2gt0  24830  nlfnval  30144  fnpreimac  30910  ffsrn  30966  pwrssmgc  31180  tocycfv  31278  elrspunidl  31508  rhmpreimacnlem  31736  eulerpartlemgs2  32247  orvcval  32324  coinfliprv  32349  cossex  36469  cosscnvex  36470  cnvelrels  36540  lkrval  37029  pw2f1o2val  40777  lmhmlnmsplit  40828  cnvcnvintabd  41097  clrellem  41119  relexpaddss  41215  cnvtrclfv  41221  rntrclfvRP  41228  xpexb  41961  sge0f1o  43810  smfco  44223  preimafvelsetpreimafv  44728  fundcmpsurinjlem2  44739