Theorem cnvexg 7917

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6103	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 6267	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5687	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7897	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	eqeltrrid 2838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5895	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7896	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrid 2838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10	6, 9	xpexd 7740	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5323	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
12	3, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  Rel wrel 5681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687

This theorem is referenced by:  cnvex  7918  relcnvexb  7919  cofunex2g  7938  tposexg  8227  cnven  9035  cnvct  9036  fopwdom  9082  domssex2  9139  domssex  9140  cnvfiALT  9336  mapfienlem2  9403  wemapwe  9694  hasheqf1oi  14315  brtrclfvcnv  14955  brcnvtrclfvcnv  14956  relexpcnv  14986  relexpnnrn  14996  relexpaddg  15004  imasle  17473  cnvps  18535  gsumvalx  18601  symginv  19311  tposmap  22179  metustel  24279  metustss  24280  metustfbas  24286  metuel2  24294  psmetutop  24296  restmetu  24299  itg2gt0  25502  nlfnval  31389  fnpreimac  32151  ffsrn  32209  pwrssmgc  32425  tocycfv  32526  elrspunidl  32808  ply1degltdimlem  32983  algextdeglem8  33057  rhmpreimacnlem  33150  eulerpartlemgs2  33665  orvcval  33742  coinfliprv  33767  cossex  37592  cosscnvex  37593  cnvelrels  37668  lkrval  38261  pw2f1o2val  42080  lmhmlnmsplit  42131  cnvcnvintabd  42653  clrellem  42675  relexpaddss  42771  cnvtrclfv  42777  rntrclfvRP  42784  xpexb  43515  sge0f1o  45397  smfco  45817  preimafvelsetpreimafv  46355  fundcmpsurinjlem2  46366