Theorem 1cosscnvepresex 37279

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon coset to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cosscnvepresex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem 1cosscnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 37191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		cossex 37277	. 2 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   E cep 5578  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   ≀ ccoss 37031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-eprel 5579  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-coss 37269

This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  37454  mpets2  37699