Theorem 1cosscnvepresex 38891

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon coset to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cosscnvepresex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem 1cosscnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38716	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		cossex 38889	. 2 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   E cep 5519  ^◡ccnv 5619   ↾ cres 5622   ≀ ccoss 38563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-coss 38881

This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  39060  mpets2  39335