Theorem 1cosscnvepresex 39045

Description: Sufficient condition for a restricted converse epsilon coset to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1cosscnvepresex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem 1cosscnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		cossex 39043	. 2 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   E cep 5558  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   ≀ ccoss 38717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-coss 39035

This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  39214  mpets2  39489