Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  partimeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem partimeq 38791
Description: Partition implies that the class of coelements on the natural domain is equal to the class of cosets of the relation, cf. erimeq 38661. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
partimeq (𝑅𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Proof of Theorem partimeq
StepHypRef Expression
1 cossex 38401 . 2 (𝑅𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2 partim 38790 . 2 (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)
3 erimeq 38661 . 2 ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
41, 2, 3syl2im 40 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  ccoss 38162  ccoels 38163   ErALTV werALTV 38188   Part wpart 38201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-qs 8750  df-coss 38393  df-coels 38394  df-refrel 38494  df-cnvrefrel 38509  df-symrel 38526  df-trrel 38556  df-eqvrel 38567  df-dmqs 38621  df-erALTV 38646  df-disjALTV 38687  df-part 38748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator