Theorem partimeq 39589

Description: Partition implies that the class of coelements on the natural domain is equal to the class of cosets of the relation, cf. erimeq 39441. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partimeq	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Proof of Theorem partimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 39186	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2		partim 39588	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)
3		erimeq 39441	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
4	1, 2, 3	syl2im 41	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ≀ ccoss 38860   ∼ ccoels 38861   ErALTV werALTV 38886   Part wpart 38901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692  df-qs 8696  df-coss 39178  df-coels 39179  df-refrel 39269  df-cnvrefrel 39284  df-symrel 39301  df-trrel 39335  df-eqvrel 39346  df-dmqs 39400  df-erALTV 39426  df-disjALTV 39467  df-part 39546

This theorem is used by: (None)