Theorem partimeq 39594

Description: Partition implies that the class of coelements on the natural domain is equal to the class of cosets of the relation, cf. erimeq 39446. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partimeq	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Proof of Theorem partimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 39191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2		partim 39593	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)
3		erimeq 39446	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
4	1, 2, 3	syl2im 41	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ≀ ccoss 38865   ∼ ccoels 38866   ErALTV werALTV 38891   Part wpart 38906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-eprel 5566  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ec 8705  df-qs 8709  df-coss 39183  df-coels 39184  df-refrel 39274  df-cnvrefrel 39289  df-symrel 39306  df-trrel 39340  df-eqvrel 39351  df-dmqs 39405  df-erALTV 39431  df-disjALTV 39472  df-part 39551

This theorem is used by: (None)