Theorem partimeq 37023

Description: Partition implies that the class of coelements on the natural domain is equal to the class of cosets of the relation, cf. erimeq 36893. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partimeq	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Proof of Theorem partimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 36633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2		partim 37022	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)
3		erimeq 36893	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
4	1, 2, 3	syl2im 40	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ≀ ccoss 36381   ∼ ccoels 36382   ErALTV werALTV 36407   Part wpart 36420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-eprel 5506  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-qs 8535  df-coss 36625  df-coels 36626  df-refrel 36726  df-cnvrefrel 36741  df-symrel 36758  df-trrel 36788  df-eqvrel 36799  df-dmqs 36853  df-erALTV 36878  df-disjALTV 36919  df-part 36980

This theorem is referenced by: (None)