Theorem partimeq 39485

Description: Partition implies that the class of coelements on the natural domain is equal to the class of cosets of the relation, cf. erimeq 39337. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partimeq	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Proof of Theorem partimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 39082	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2		partim 39484	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)
3		erimeq 39337	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))
4	1, 2, 3	syl2im 41	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 Part 𝐴 → ∼ 𝐴 = ≀ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ≀ ccoss 38756   ∼ ccoels 38757   ErALTV werALTV 38782   Part wpart 38797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ec 8696  df-qs 8700  df-coss 39074  df-coels 39075  df-refrel 39165  df-cnvrefrel 39180  df-symrel 39197  df-trrel 39231  df-eqvrel 39242  df-dmqs 39296  df-erALTV 39322  df-disjALTV 39363  df-part 39442

This theorem is referenced by: (None)