Theorem dfatopafv2b 47840

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership, analogous to fnopfvb 6918 or funopfvb 6921. (Contributed by AV, 6-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatopafv2b	⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem dfatopafv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatbrafv2b 47839	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
2		df-br 5101	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   defAt wdfat 47710  ''''cafv2 47802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-dfat 47713  df-afv2 47803

This theorem is referenced by:  dfatdmfcoafv2  47848