Theorem dfatbrafv2b 46538

Description: Equivalence of function value and binary relation, analogous to fnbrfvb 6944 or funbrfvb 6946. 𝐵 ∈ V is required, because otherwise 𝐴𝐹𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐹 can be true, but (𝐹''''𝐴) = 𝐵 is always false (because of dfatafv2ex 46506). (Contributed by AV, 6-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatbrafv2b	⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem dfatbrafv2b

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)
2		dfatafv2ex 46506	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
4		eqeq2 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)))
5		breq2 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (𝐴𝐹𝑥 ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 = (𝐹''''𝐴)) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
8		dfdfat2 46421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
9		tz6.12c-afv2 46535	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
10	8, 9	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
12	3, 7, 11	vtocld 3543	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
13	1, 12	mpbii 232	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))
14		breq2 5146	. . 3 ⊢ ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → (𝐴𝐹(𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹𝐵))
15	13, 14	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))
16		df-dfat 46412	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
17		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
21	17, 18, 20	jca31 514	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
22	16, 21	sylanb 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
23		funressnbrafv2 46537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
25	15, 24	impbid 211	1 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃!weu 2557  Vcvv 3469  {csn 4624   class class class wbr 5142  dom cdm 5672   ↾ cres 5674  Fun wfun 6536   defAt wdfat 46409  ''''cafv2 46501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-res 5684  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-dfat 46412  df-afv2 46502

This theorem is referenced by:  dfatopafv2b  46539  dfatsnafv2  46545  dfatcolem  46548