Theorem dfatbrafv2b 47605

Description: Equivalence of function value and binary relation, analogous to fnbrfvb 6892 or funbrfvb 6895. 𝐵 ∈ V is required, because otherwise 𝐴𝐹𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐹 can be true, but (𝐹''''𝐴) = 𝐵 is always false (because of dfatafv2ex 47573). (Contributed by AV, 6-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatbrafv2b	⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem dfatbrafv2b

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)
2		dfatafv2ex 47573	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
4		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)))
5		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (𝐴𝐹𝑥 ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 = (𝐹''''𝐴)) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
8		dfdfat2 47488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
9		tz6.12c-afv2 47602	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
10	8, 9	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
12	3, 7, 11	vtocld 3520	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
13	1, 12	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))
14		breq2 5104	. . 3 ⊢ ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → (𝐴𝐹(𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹𝐵))
15	13, 14	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))
16		df-dfat 47479	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
17		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
21	17, 18, 20	jca31 514	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
22	16, 21	sylanb 582	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
23		funressnbrafv2 47604	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
25	15, 24	impbid 212	1 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569  Vcvv 3442  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  Fun wfun 6494   defAt wdfat 47476  ''''cafv2 47568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-dfat 47479  df-afv2 47569

This theorem is referenced by:  dfatopafv2b  47606  dfatsnafv2  47612  dfatcolem  47615