Theorem dfatbrafv2b 48588

Description: Equivalence of function value and binary relation, analogous to fnbrfvb 6966 or funbrfvb 6969. 𝐵 ∈ V is required, because otherwise 𝐴𝐹𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐹 can be true, but (𝐹''''𝐴) = 𝐵 is always false (because of dfatafv2ex 48556). (Contributed by AV, 6-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatbrafv2b	⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem dfatbrafv2b

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)
2		dfatafv2ex 48556	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹''''𝐴) ∈ V)
4		eqeq2 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴)))
5		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (𝐴𝐹𝑥 ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹''''𝐴) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 = (𝐹''''𝐴)) → (((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥) ↔ ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))))
8		dfdfat2 48471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
9		tz6.12c-afv2 48585	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
10	8, 9	simplbiim 514	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
12	3, 7, 11	vtocld 3526	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = (𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴)))
13	1, 12	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴𝐹(𝐹''''𝐴))
14		breq2 5112	. . 3 ⊢ ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → (𝐴𝐹(𝐹''''𝐴) ↔ 𝐴𝐹𝐵))
15	13, 14	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))
16		df-dfat 48463	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
17		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
21	17, 18, 20	jca31 524	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
22	16, 21	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
23		funressnbrafv2 48587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴𝐹𝐵 → (𝐹''''𝐴) = 𝐵))
25	15, 24	impbid 215	1 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹''''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560   defAt wdfat 48460  ''''cafv2 48551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-dfat 48463  df-afv2 48552

This theorem is used by:  dfatopafv2b  48589  dfatsnafv2  48595  dfatcolem  48598