Theorem fnopfvb 6912

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership. (Contributed by NM, 7-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fnopfvb	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem fnopfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnbrfvb 6911	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐵𝐹𝐶))
2		df-br 5108	. 2 ⊢ (𝐵𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  funopfvb  6915  fdmeu  6917  fvopab3g  6963  f1ofveu  7381  ovid  7530  ov  7533  ovg  7554  funelss  8026  tfrlem11  8356  rdglim2  8400  tz7.48-1  8411  mdetunilem9  22507  tfsconcatfv2  43329