Theorem dford5 33671

Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dford5	⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 7633	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
2		ordtr 6280	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4		epweon 7625	. . . 4 ⊢ E We On
5		wess 5576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
6	4, 5	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7		df-ord 6269	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
8	7	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
9	8	ancoms 459	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
10	6, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
11	3, 10	impbii 208	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ⊆ wss 3887  Tr wtr 5191   E cep 5494   We wwe 5543  Ord word 6265  Oncon0 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270

This theorem is referenced by:  nosupno  33906  noinfno  33921