Theorem dford5 7771

Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dford5	⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 7770	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
2		ordtr 6379	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3	1, 2	jca 513	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4		epweon 7762	. . . 4 ⊢ E We On
5		wess 5664	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
6	4, 5	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7		df-ord 6368	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
8	7	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
9	8	ancoms 460	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
10	6, 9	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
11	3, 10	impbii 208	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ⊆ wss 3949  Tr wtr 5266   E cep 5580   We wwe 5631  Ord word 6364  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by:  nosupno  27206  noinfno  27221  nadd2rabord  42183  nadd1rabord  42187