Theorem dford5 7738

Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dford5	⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 7737	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
2		ordtr 6337	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4		epweon 7729	. . . 4 ⊢ E We On
5		wess 5617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
6	4, 5	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7		df-ord 6326	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
8	7	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
9	8	ancoms 458	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
10	6, 9	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
11	3, 10	impbii 209	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ⊆ wss 3889  Tr wtr 5192   E cep 5530   We wwe 5583  Ord word 6322  Oncon0 6323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327

This theorem is referenced by:  nosupno  27667  noinfno  27682  bdayons  28268  nadd2rabord  43813  nadd1rabord  43817