Theorem dford5 7805

Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dford5	⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 7804	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
2		ordtr 6397	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4		epweon 7796	. . . 4 ⊢ E We On
5		wess 5670	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
6	4, 5	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7		df-ord 6386	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
8	7	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
9	8	ancoms 458	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
10	6, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
11	3, 10	impbii 209	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ⊆ wss 3950  Tr wtr 5258   E cep 5582   We wwe 5635  Ord word 6382  Oncon0 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6386  df-on 6387

This theorem is referenced by:  nosupno  27749  noinfno  27764  nadd2rabord  43403  nadd1rabord  43407