MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dford5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford5 7723
Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
dford5 (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5
StepHypRef Expression
1 ordsson 7722 . . 3 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
2 ordtr 6336 . . 3 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
31, 2jca 513 . 2 (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4 epweon 7714 . . . 4 E We On
5 wess 5625 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
64, 5mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7 df-ord 6325 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
87biimpri 227 . . . 4 ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
98ancoms 460 . . 3 (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
106, 9sylan 581 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
113, 10impbii 208 1 (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wss 3915  Tr wtr 5227   E cep 5541   We wwe 5592  Ord word 6321  Oncon0 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326
This theorem is referenced by:  nosupno  27067  noinfno  27082  nadd2rabord  41730  nadd1rabord  41734
  Copyright terms: Public domain W3C validator