Theorem nadd2rabord 43926

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is an ordinal. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐴
2		ordsson 7762	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
3	2	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ⊆ On)
4	1, 3	sstrid 3947	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ On)
5		nadd2rabtr 43925	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
6		dford5 7763	. 2 ⊢ (Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ On ∧ Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
7	4, 5, 6	sylanbrc 592	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ⊆ wss 3904  Tr wtr 5206  Ord word 6341  Oncon0 6342  (class class class)co 7392   +no cnadd 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-nadd 8631

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  43928