Theorem nadd1rabord 43820

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is an ordinal. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1rabord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd1rabord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4021	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐴
2		ordsson 7728	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
3	2	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ⊆ On)
4	1, 3	sstrid 3934	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ On)
5		nadd1rabtr 43819	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
6		dford5 7729	. 2 ⊢ (Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ↔ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ On ∧ Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶}))
7	4, 5, 6	sylanbrc 584	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  Tr wtr 5193  Ord word 6314  Oncon0 6315  (class class class)co 7358   +no cnadd 8592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-nadd 8593

This theorem is referenced by:  nadd1rabon  43822