Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nadd1rabord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nadd1rabord 43378
Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is an ordinal. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
nadd1rabord ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd1rabord
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4089 . . 3 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐴
2 ordsson 7801 . . . 4 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
323ad2ant1 1132 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ⊆ On)
41, 3sstrid 4006 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ On)
5 nadd1rabtr 43377 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
6 dford5 7802 . 2 (Ord {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ↔ ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ⊆ On ∧ Tr {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶}))
74, 5, 6sylanbrc 583 1 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2105  {crab 3432  wss 3962  Tr wtr 5264  Ord word 6384  Oncon0 6385  (class class class)co 7430   +no cnadd 8701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-nadd 8702
This theorem is referenced by:  nadd1rabon  43380
  Copyright terms: Public domain W3C validator