Theorem ordsson 7797

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7791	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7796	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	birani 509	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4		ordsseleq 6392	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
5	3, 4	mpbird 260	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
6	1, 5	mpan2 704	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  Ord word 6361  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by:  dford5  7798  onss  7799  orduni  7803  ordsuci  7822  ordsucuniel  7835  ordsucuni  7840  iordsmo  8365  dfrecs3  8380  tfr2b  8404  tz7.44-2  8415  fissorduni  9282  ordiso2  9509  ordtypelem7  9518  ordtypelem8  9519  oiid  9535  rnr1  9774  r1tr  9783  r1ordg  9785  r1ord3g  9786  r1pwss  9791  r1val1  9793  rankwflembOLD  9801  r1elwf  9804  rankr1ai  9806  r1filimi  9903  cflim2  10341  cfss  10343  cfslb  10344  cfslbn  10345  cfslb2n  10346  cofsmo  10347  coftr  10351  inaprc  10921  nosepon  28022  satfn  36162  rdgprc  36598  limsucncmpi  37275  limexissup  44325  limexissupab  44327  nadd2rabord  44429  nadd1rabord  44433