Theorem ordsson 7770

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7764	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7769	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	birani 508	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4		ordsseleq 6379	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
5	3, 4	mpbird 260	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
6	1, 5	mpan2 703	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  Ord word 6348  Oncon0 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352  df-on 6353

This theorem is referenced by:  dford5  7771  onss  7772  orduni  7776  ordsuci  7795  ordsucuniel  7808  ordsucuni  7813  iordsmo  8332  dfrecs3  8347  tfr2b  8371  tz7.44-2  8382  ordiso2  9465  ordtypelem7  9474  ordtypelem8  9475  oiid  9491  r1tr  9736  r1ordg  9738  r1ord3g  9739  r1pwss  9744  r1val1  9746  rankwflemb  9753  r1elwf  9756  rankr1ai  9758  cflim2  10235  cfss  10237  cfslb  10238  cfslbn  10239  cfslb2n  10240  cofsmo  10241  coftr  10245  inaprc  10809  nosepon  27783  fissorduni  35390  r1filimi  35406  satfn  35713  rdgprc  36150  limsucncmpi  36813  limexissup  43865  limexissupab  43867  nadd2rabord  43969  nadd1rabord  43973