Theorem ordsson 7824

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7818	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7823	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	birani 509	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4		ordsseleq 6413	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
5	3, 4	mpbird 260	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
6	1, 5	mpan2 704	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Ord word 6382  Oncon0 6383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-ord 6386  df-on 6387

This theorem is used by:  dford5  7825  onss  7826  orduni  7830  ordsuci  7849  ordsucuniel  7862  ordsucuni  7867  iordsmo  8396  dfrecs3  8411  tfr2b  8435  tz7.44-2  8446  fissorduni  9313  ordiso2  9539  ordtypelem7  9548  ordtypelem8  9549  oiid  9565  rnr1  9804  r1tr  9813  r1ordg  9815  r1ord3g  9816  r1pwss  9821  r1val1  9823  rankwflembOLD  9831  r1elwf  9834  rankr1ai  9836  r1filimi  9933  cflim2  10371  cfss  10373  cfslb  10374  cfslbn  10375  cfslb2n  10376  cofsmo  10377  coftr  10381  inaprc  10951  nosepon  28055  satfn  36300  rdgprc  36747  limsucncmpi  37424  limexissup  44486  limexissupab  44488  nadd2rabord  44590  nadd1rabord  44594