Theorem ordsson 7769

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7763	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7768	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
5		ordsseleq 6393	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
6	4, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
7	1, 6	mpan2 689	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  Ord word 6363  Oncon0 6364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368

This theorem is referenced by:  dford5  7770  onss  7771  orduni  7776  ordsuci  7795  ordsucuniel  7811  ordsucuni  7816  iordsmo  8356  dfrecs3  8371  dfrecs3OLD  8372  tfr2b  8395  tz7.44-2  8406  ordiso2  9509  ordtypelem7  9518  ordtypelem8  9519  oiid  9535  r1tr  9770  r1ordg  9772  r1ord3g  9773  r1pwss  9778  r1val1  9780  rankwflemb  9787  r1elwf  9790  rankr1ai  9792  cflim2  10257  cfss  10259  cfslb  10260  cfslbn  10261  cfslb2n  10262  cofsmo  10263  coftr  10267  inaprc  10830  nosepon  27165  satfn  34341  rdgprc  34761  limsucncmpi  35325  limexissup  42021  limexissupab  42023  nadd2rabord  42125  nadd1rabord  42129