Theorem ordsson 7803

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7797	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7802	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
5		ordsseleq 6413	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
6	4, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
7	1, 6	mpan2 691	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  Ord word 6383  Oncon0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388

This theorem is referenced by:  dford5  7804  onss  7805  orduni  7809  ordsuci  7828  ordsucuniel  7844  ordsucuni  7849  iordsmo  8397  dfrecs3  8412  dfrecs3OLD  8413  tfr2b  8436  tz7.44-2  8447  ordiso2  9555  ordtypelem7  9564  ordtypelem8  9565  oiid  9581  r1tr  9816  r1ordg  9818  r1ord3g  9819  r1pwss  9824  r1val1  9826  rankwflemb  9833  r1elwf  9836  rankr1ai  9838  cflim2  10303  cfss  10305  cfslb  10306  cfslbn  10307  cfslb2n  10308  cofsmo  10309  coftr  10313  inaprc  10876  nosepon  27710  satfn  35360  rdgprc  35795  limsucncmpi  36446  limexissup  43294  limexissupab  43296  nadd2rabord  43398  nadd1rabord  43402