Theorem ordsson 7723

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7717	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7722	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
5		ordsseleq 6340	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
6	4, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
7	1, 6	mpan2 691	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  Ord word 6310  Oncon0 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315

This theorem is referenced by:  dford5  7724  onss  7725  orduni  7729  ordsuci  7748  ordsucuniel  7763  ordsucuni  7768  iordsmo  8287  dfrecs3  8302  tfr2b  8325  tz7.44-2  8336  ordiso2  9426  ordtypelem7  9435  ordtypelem8  9436  oiid  9452  r1tr  9691  r1ordg  9693  r1ord3g  9694  r1pwss  9699  r1val1  9701  rankwflemb  9708  r1elwf  9711  rankr1ai  9713  cflim2  10176  cfss  10178  cfslb  10179  cfslbn  10180  cfslb2n  10181  cofsmo  10182  coftr  10186  inaprc  10749  nosepon  27593  satfn  35327  rdgprc  35767  limsucncmpi  36418  limexissup  43254  limexissupab  43256  nadd2rabord  43358  nadd1rabord  43362