Theorem ordsson 7730

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 18-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsson	⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem ordsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7724	. 2 ⊢ Ord On
2		ordeleqon 7729	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3	2	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
5		ordsseleq 6346	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → (𝐴 ⊆ On ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On)))
6	4, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord On) → 𝐴 ⊆ On)
7	1, 6	mpan2 692	1 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  dford5  7731  onss  7732  orduni  7736  ordsuci  7755  ordsucuniel  7768  ordsucuni  7773  iordsmo  8290  dfrecs3  8305  tfr2b  8328  tz7.44-2  8339  ordiso2  9423  ordtypelem7  9432  ordtypelem8  9433  oiid  9449  r1tr  9691  r1ordg  9693  r1ord3g  9694  r1pwss  9699  r1val1  9701  rankwflemb  9708  r1elwf  9711  rankr1ai  9713  cflim2  10176  cfss  10178  cfslb  10179  cfslbn  10180  cfslb2n  10181  cofsmo  10182  coftr  10186  inaprc  10750  nosepon  27643  fissorduni  35249  r1filimi  35262  satfn  35553  rdgprc  35990  limsucncmpi  36643  limexissup  43727  limexissupab  43729  nadd2rabord  43831  nadd1rabord  43835