MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onss 7724
Description: An ordinal number is a subset of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)
Assertion
Ref Expression
onss (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem onss
StepHypRef Expression
1 eloni 6332 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordsson 7722 . 2 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wss 3915  Ord word 6321  Oncon0 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326
This theorem is referenced by:  predonOLD  7726  onuni  7728  onminex  7742  sucexeloniOLD  7750  suceloniOLD  7752  onssi  7778  tfi  7794  soseq  8096  tfr3  8350  tz7.49  8396  tz7.49c  8397  oacomf1olem  8516  oeeulem  8553  cofonr  8625  naddcllem  8627  naddov2  8630  naddunif  8644  naddasslem1  8645  naddasslem2  8646  ordtypelem2  9462  cantnfcl  9610  cantnflt  9615  cantnfp1lem3  9623  oemapvali  9627  cantnflem1c  9630  cantnflem1d  9631  cantnflem1  9632  cantnf  9636  cnfcom  9643  cnfcom3lem  9646  infxpenlem  9956  ac10ct  9977  dfac12lem1  10086  dfac12lem2  10087  cfeq0  10199  cfsuc  10200  cff1  10201  cfflb  10202  cofsmo  10212  cfsmolem  10213  alephsing  10219  zorn2lem2  10440  ttukeylem3  10454  ttukeylem5  10456  ttukeylem6  10457  inar1  10718  nosupno  27067  elold  27221  ontgval  34932  aomclem6  41415  ofoafo  41701  ofoaid1  41703  ofoaid2  41704  dfno2  41774
  Copyright terms: Public domain W3C validator