Theorem onss 7801

Description: An ordinal number is a subset of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
onss	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem onss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsson 7799	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  Ord word 6363  Oncon0 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6367  df-on 6368

This theorem is used by:  onuni  7804  onminex  7818  onssi  7851  tfi  7866  soseq  8180  tfr3  8412  tz7.49  8460  tz7.49c  8461  oacomf1olem  8577  oeeulem  8615  cofonr  8688  naddcllem  8690  naddov2  8693  naddunif  8708  naddasslem1  8709  naddasslem2  8710  ordtypelem2  9518  cantnfcl  9673  cantnflt  9678  cantnfp1lem3  9686  oemapvali  9690  cantnflem1c  9693  cantnflem1d  9694  cantnflem1  9695  cantnf  9699  cnfcom  9706  cnfcom3lem  9709  infxpenlem  10097  ac10ct  10118  dfac12lem1  10227  dfac12lem2  10228  cfeq0  10339  cfsuc  10340  cff1  10341  cfflb  10342  cofsmo  10352  cfsmolem  10353  alephsing  10359  zorn2lem2  10580  ttukeylem3  10594  ttukeylem5  10596  ttukeylem6  10597  inar1  10865  nosupno  28067  elold  28252  madefi  28306  oldfi  28307  oldfib  28770  dfac15  35811  nmulrid  37040  ltnadd  37061  naddle  37062  ontgval  37313  aomclem6  44168  tfsconcatlem  44445  tfsconcatfv  44450  ofoafo  44465  ofoaid1  44467  ofoaid2  44468  dfno2  44536