Theorem onss 7730

Description: An ordinal number is a subset of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
onss	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)

Proof of Theorem onss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsson 7728	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  onuni  7733  onminex  7747  onssi  7780  tfi  7795  soseq  8101  tfr3  8330  tz7.49  8376  tz7.49c  8377  oacomf1olem  8491  oeeulem  8529  cofonr  8602  naddcllem  8604  naddov2  8607  naddunif  8621  naddasslem1  8622  naddasslem2  8623  ordtypelem2  9424  cantnfcl  9576  cantnflt  9581  cantnfp1lem3  9589  oemapvali  9593  cantnflem1c  9596  cantnflem1d  9597  cantnflem1  9598  cantnf  9602  cnfcom  9609  cnfcom3lem  9612  infxpenlem  9923  ac10ct  9944  dfac12lem1  10054  dfac12lem2  10055  cfeq0  10166  cfsuc  10167  cff1  10168  cfflb  10169  cofsmo  10179  cfsmolem  10180  alephsing  10186  zorn2lem2  10407  ttukeylem3  10421  ttukeylem5  10423  ttukeylem6  10424  inar1  10686  nosupno  27671  elold  27855  madefi  27909  oldfi  27910  oldfib  28373  ontgval  36625  aomclem6  43301  tfsconcatlem  43578  tfsconcatfv  43583  ofoafo  43598  ofoaid1  43600  ofoaid2  43601  dfno2  43669