Theorem dmfex 7903

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6713	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7899	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
4	2, 3	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 413	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  dom cdm 5655  ⟶wf 6529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fn 6536  df-f 6537

This theorem is used by:  wemoiso  7971  mapfset  8854  mapfoss  8856  fopwdom  9086  fsuppssov1  9357  fowdom  9546  wdomfil  10067  fin23lem17  10343  fin23lem32  10349  fin23lem39  10355  enfin1ai  10389  fin1a2lem7  10411  symgbasmap  19507  lindfmm  22043  kelac1  43907