Theorem dmfex 7884

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6700	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7880	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
4	2, 3	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 407	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  dom cdm 5641  ⟶wf 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fn 6517  df-f 6518

This theorem is referenced by:  wemoiso  7955  mapfset  8826  mapfoss  8828  fopwdom  9054  fsuppssov1  9342  fowdom  9531  wdomfil  10021  fin23lem17  10298  fin23lem32  10304  fin23lem39  10310  enfin1ai  10344  fin1a2lem7  10366  symgbasmap  19314  lindfmm  21743  kelac1  43059