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Theorem lindfmm 21373
Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lindfmm.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lindfmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇))

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 21354 . . . . 5 Rel LIndF
21brrelex1i 5730 . . . 4 (𝐹 LIndF 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ V)
3 simp3 1138 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
4 dmfex 7894 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 597 . . 3 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝐹 LIndF 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ V)
65ex 413 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 β†’ 𝐼 ∈ V))
71brrelex1i 5730 . . . 4 ((𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇 β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ V)
8 f1f 6784 . . . . . 6 (𝐺:𝐡–1-1→𝐢 β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐢)
9 fco 6738 . . . . . 6 ((𝐺:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢)
108, 9sylan 580 . . . . 5 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢)
11103adant1 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢)
12 dmfex 7894 . . . 4 (((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ V ∧ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐼 ∈ V)
137, 11, 12syl2anr 597 . . 3 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇) β†’ 𝐼 ∈ V)
1413ex 413 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇 β†’ 𝐼 ∈ V))
15 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
16 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢)
17 lmhmlmod1 20636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
1817ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
20 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
21 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
22 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
2320, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
26 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
2824, 25, 26, 27lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
2918, 19, 23, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
30 imassrn 6068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝐹
31 frn 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
3330, 32sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝐡)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝐡)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSpanβ€˜π‘†) = (LSpanβ€˜π‘†)
3624, 35lspssv 20586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† 𝐡)
3718, 34, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† 𝐡)
38 f1elima 7258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐡 ∧ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
3916, 29, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
40 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 20638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4340, 19, 23, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
44 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
4544ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
46 fvco2 6985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4745, 21, 46syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4847oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4943, 48eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSpanβ€˜π‘‡) = (LSpanβ€˜π‘‡)
5124, 35, 50lmhmlsp 20652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐺 β€œ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5240, 34, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐺 β€œ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
53 imaco 6247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝐺 β€œ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5453fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐺 β€œ (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
5552, 54eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
5649, 55eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐺 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5739, 56bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5857notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))) β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5958anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))) β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
6015, 59sylan2 593 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))})) β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
6160ralbidva 3175 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
62 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
6325, 62lmhmsca 20633 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
6463fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
6563fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
6665sneqd 4639 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))})
6764, 66difeq12d 4122 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}))
6867ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}))
6968raleqdv 3325 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
7061, 69bitr4d 281 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
7170ralbidva 3175 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
7217ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
73 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ 𝐼 ∈ V)
74 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 21360 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
7672, 73, 20, 75syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
77 lmhmlmod2 20635 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7877ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7910ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢)
80 lindfmm.c . . . . . . 7 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
81 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
82 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 21360 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ (𝐺 ∘ 𝐹):𝐼⟢𝐢) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
8478, 73, 79, 83syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘‡)((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜((𝐺 ∘ 𝐹) β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
8571, 76, 843bitr4d 310 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) ∧ (𝐹:𝐼⟢𝐡 ∧ 𝐼 ∈ V)) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇))
8685exp32 421 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢) β†’ (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇))))
87863impia 1117 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐼 ∈ V β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇)))
886, 14, 87pm5.21ndd 380 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐡–1-1→𝐢 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) LIndF 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574   LMHom clmhm 20622   LIndF clindf 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lindf 21352
This theorem is referenced by:  lindsmm  21374
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