Theorem fndmexb 7906

Description: The domain of a function is a set iff the function is a set. (Contributed by AV, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fndmexb	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))

Proof of Theorem fndmexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 7219	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 Fn 𝐴)
5	3, 4	fndmexd 7904	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	2, 6	impbid 215	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   Fn wfn 6532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is used by:  fdmexb  7907