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Theorem enfin1ai 9795
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8547 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8507 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
31, 2sylib 219 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 elpwi 4554 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
5 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ FinIa)
6 imassrn 5938 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
7 f1of 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
87ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
98frnd 6518 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ran 𝑓𝐴)
106, 9sstrid 3982 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴)
11 fin1ai 9704 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
125, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
13 f1of1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
1413ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵1-1𝐴)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
16 vex 3503 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ V)
18 f1imaeng 8558 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
1914, 15, 17, 18syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
20 enfi 8723 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≈ 𝑥 → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
22 df-f1 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ Fun 𝑓))
2322simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1𝐴 → Fun 𝑓)
24 imadif 6435 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
2514, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
26 f1ofo 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
27 foima 6592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2928ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3029difeq1d 4102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
3125, 30eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
32 difssd 4113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵)
33 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝑓:𝐵𝐴)
35 dmfex 7629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ V)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ V)
38 difexg 5228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ∈ V)
40 f1imaeng 8558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4114, 32, 39, 40syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4231, 41eqbrtrrd 5087 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
43 enfi 8723 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4521, 44orbi12d 914 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4612, 45mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
474, 46sylan2 592 . . . . . 6 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4847ralrimiva 3187 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
49 isfin1a 9703 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5036, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5148, 50mpbird 258 . . . 4 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ FinIa)
5251ex 413 . . 3 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
5352exlimiv 1924 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
543, 53syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5063  ccnv 5553  ran crn 5555  cima 5557  Fun wfun 6346  wf 6348  1-1wf1 6349  ontowfo 6350  1-1-ontowf1o 6351  cen 8495  Fincfn 8498  FinIacfin1a 9689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fin1a 9696
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