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Theorem enfin1ai 10379
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8999 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8949 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
31, 2sylib 217 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 elpwi 4610 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ FinIa)
6 imassrn 6071 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
7 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
98frnd 6726 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ran 𝑓𝐴)
106, 9sstrid 3994 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴)
11 fin1ai 10288 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
13 f1of1 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵1-1𝐴)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
16 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ V)
18 f1imaeng 9010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
1914, 15, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
20 enfi 9190 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≈ 𝑥 → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
22 df-f1 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ Fun 𝑓))
2322simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1𝐴 → Fun 𝑓)
24 imadif 6633 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
2514, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
26 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
27 foima 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3029difeq1d 4122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
3125, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
32 difssd 4133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵)
33 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
347adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝑓:𝐵𝐴)
35 dmfex 7898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3633, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ V)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3837difexd 5330 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ∈ V)
39 f1imaeng 9010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4014, 32, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4131, 40eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
42 enfi 9190 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4421, 43orbi12d 918 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4512, 44mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
464, 45sylan2 594 . . . . . 6 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4746ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
48 isfin1a 10287 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4936, 48syl 17 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5047, 49mpbird 257 . . . 4 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ FinIa)
5150ex 414 . . 3 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
5251exlimiv 1934 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
533, 52syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  cdif 3946  wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  ccnv 5676  ran crn 5678  cima 5680  Fun wfun 6538  wf 6540  1-1wf1 6541  ontowfo 6542  1-1-ontowf1o 6543  cen 8936  Fincfn 8939  FinIacfin1a 10273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fin1a 10280
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