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Theorem enfin1ai 10325
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8946 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8896 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
31, 2sylib 217 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 elpwi 4568 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ FinIa)
6 imassrn 6025 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
7 f1of 6785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
98frnd 6677 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ran 𝑓𝐴)
106, 9sstrid 3956 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴)
11 fin1ai 10234 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
13 f1of1 6784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵1-1𝐴)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
16 vex 3448 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ V)
18 f1imaeng 8957 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
1914, 15, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
20 enfi 9137 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≈ 𝑥 → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
22 df-f1 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ Fun 𝑓))
2322simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1𝐴 → Fun 𝑓)
24 imadif 6586 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
2514, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
26 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
27 foima 6762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3029difeq1d 4082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
3125, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
32 difssd 4093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵)
33 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
347adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝑓:𝐵𝐴)
35 dmfex 7845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3633, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ V)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3837difexd 5287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ∈ V)
39 f1imaeng 8957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4014, 32, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4131, 40eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
42 enfi 9137 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4421, 43orbi12d 918 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4512, 44mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
464, 45sylan2 594 . . . . . 6 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4746ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
48 isfin1a 10233 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4936, 48syl 17 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5047, 49mpbird 257 . . . 4 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ FinIa)
5150ex 414 . . 3 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
5251exlimiv 1934 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
533, 52syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444  cdif 3908  wss 3911  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  ccnv 5633  ran crn 5635  cima 5637  Fun wfun 6491  wf 6493  1-1wf1 6494  ontowfo 6495  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  Fincfn 8886  FinIacfin1a 10219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-fin 8890  df-fin1a 10226
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