Theorem wdomfil 9490

Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomfil	⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem wdomfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9033	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5612	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		0domg 8647	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5		breq1 5072	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼ 𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
6	4, 5	syl5ibr 248	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
8		brwdomn0 9036	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
9	8	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
10		vex 3500	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		fof 6593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑥:𝑌⟶𝑋)
12		dmfex 7644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌⟶𝑋) → 𝑌 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑌 ∈ V)
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑥:𝑌–onto→𝑋)
17		fodomfi2 9489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
19	18	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
20	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
21	20	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
22	9, 21	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
23	7, 22	pm2.61dane 3107	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
24		domwdom 9041	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)
25	23, 24	impbid1 227	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497  ∅c0 4294   class class class wbr 5069  ⟶wf 6354  –onto→wfo 6356   ≼ cdom 8510  Fincfn 8512   ≼^* cwdom 9024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-1o 8105  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-wdom 9026  df-card 9371  df-acn 9374

This theorem is referenced by: (None)