MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomfil 10098
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 9603 . . . . . . 7 Rel ≼*
21brrelex2i 5745 . . . . . 6 (𝑋* 𝑌𝑌 ∈ V)
3 0domg 9138 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5 breq1 5150 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑋𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
64, 5imbitrrid 246 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
76adantl 481 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
8 brwdomn0 9606 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
98adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
10 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
11 fof 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑥:𝑌𝑋)
12 dmfex 7927 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑌 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑥:𝑌onto𝑋)
17 fodomfi2 10097 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1918ex 412 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2120exlimdv 1930 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
229, 21sylbid 240 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
237, 22pm2.61dane 3026 . 2 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
24 domwdom 9611 . 2 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
2523, 24impbid1 225 1 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  c0 4338   class class class wbr 5147  wf 6558  ontowfo 6560  cdom 8981  Fincfn 8983  * cwdom 9601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-wdom 9602  df-card 9976  df-acn 9979
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator