Theorem wdomfil 10059

Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomfil	⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem wdomfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9564	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5733	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		0domg 9103	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼ 𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
6	4, 5	imbitrrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
8		brwdomn0 9567	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
10		vex 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		fof 6805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑥:𝑌⟶𝑋)
12		dmfex 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌⟶𝑋) → 𝑌 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑌 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑥:𝑌–onto→𝑋)
17		fodomfi2 10058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
21	20	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
22	9, 21	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
23	7, 22	pm2.61dane 3028	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
24		domwdom 9572	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)
25	23, 24	impbid1 224	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541   ≼ cdom 8940  Fincfn 8942   ≼^* cwdom 9562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-wdom 9563  df-card 9937  df-acn 9940

This theorem is referenced by: (None)