Theorem wdomfil 10073

Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomfil	⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem wdomfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9578	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		0domg 9112	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼ 𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
6	4, 5	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
8		brwdomn0 9581	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
10		vex 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		fof 6789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑥:𝑌⟶𝑋)
12		dmfex 7899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌⟶𝑋) → 𝑌 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑌 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑥:𝑌–onto→𝑋)
17		fodomfi2 10072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
21	20	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
22	9, 21	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
23	7, 22	pm2.61dane 3019	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
24		domwdom 9586	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)
25	23, 24	impbid1 225	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ⟶wf 6526  –onto→wfo 6528   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957   ≼^* cwdom 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-wdom 9577  df-card 9951  df-acn 9954

This theorem is referenced by: (None)