MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomfil 9472
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 9014 . . . . . . 7 Rel ≼*
21brrelex2i 5590 . . . . . 6 (𝑋* 𝑌𝑌 ∈ V)
3 0domg 8628 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5 breq1 5050 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑋𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
64, 5syl5ibr 249 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
76adantl 485 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
8 brwdomn0 9017 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
98adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
10 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
11 fof 6571 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑥:𝑌𝑋)
12 dmfex 7624 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑌 ∈ V)
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑥:𝑌onto𝑋)
17 fodomfi2 9471 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1918ex 416 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2120exlimdv 1935 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
229, 21sylbid 243 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
237, 22pm2.61dane 3100 . 2 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
24 domwdom 9022 . 2 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
2523, 24impbid1 228 1 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3013  Vcvv 3479  c0 4274   class class class wbr 5047  wf 6332  ontowfo 6334  cdom 8490  Fincfn 8492  * cwdom 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-wdom 9013  df-card 9352  df-acn 9355
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator