Theorem wdomfil 9990

Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomfil	⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem wdomfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9495	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5688	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		0domg 9045	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼ 𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
6	4, 5	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
8		brwdomn0 9498	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
10		vex 3448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		fof 6754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑥:𝑌⟶𝑋)
12		dmfex 7861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌⟶𝑋) → 𝑌 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑌 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑥:𝑌–onto→𝑋)
17		fodomfi2 9989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
21	20	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
22	9, 21	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
23	7, 22	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
24		domwdom 9503	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)
25	23, 24	impbid1 225	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  –onto→wfo 6497   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895   ≼^* cwdom 9493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-wdom 9494  df-card 9868  df-acn 9871

This theorem is referenced by: (None)