Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomfil 9217
 Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8760 . . . . . . 7 Rel ≼*
21brrelex2i 5407 . . . . . 6 (𝑋* 𝑌𝑌 ∈ V)
3 0domg 8375 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5 breq1 4889 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑋𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
64, 5syl5ibr 238 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
76adantl 475 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
8 brwdomn0 8763 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
98adantl 475 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋))
10 vex 3401 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
11 fof 6366 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑥:𝑌𝑋)
12 dmfex 7403 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝑌onto𝑋𝑌 ∈ V)
1413adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑥:𝑌onto𝑋)
17 fodomfi2 9216 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌onto𝑋) → 𝑋𝑌)
1918ex 403 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2019adantr 474 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
2120exlimdv 1976 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌onto𝑋𝑋𝑌))
229, 21sylbid 232 . . 3 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
237, 22pm2.61dane 3057 . 2 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
24 domwdom 8768 . 2 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
2523, 24impbid1 217 1 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋* 𝑌𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398  ∅c0 4141   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  –onto→wfo 6133   ≼ cdom 8239  Fincfn 8241   ≼* cwdom 8751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-1o 7843  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-wdom 8753  df-card 9098  df-acn 9101 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator