Theorem wdomfil 9977

Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomfil	⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem wdomfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9475	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5682	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		0domg 9036	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∅ ≼ 𝑌)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∅ ≼ 𝑌)
5		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼ 𝑌 ↔ ∅ ≼ 𝑌))
6	4, 5	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
8		brwdomn0 9478	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋))
10		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		fof 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑥:𝑌⟶𝑋)
12		dmfex 7850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥:𝑌⟶𝑋) → 𝑌 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑌 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑥:𝑌–onto→𝑋)
17		fodomfi2 9976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼ 𝑌)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
21	20	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑥 𝑥:𝑌–onto→𝑋 → 𝑋 ≼ 𝑌))
22	9, 21	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
23	7, 22	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌))
24		domwdom 9483	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)
25	23, 24	impbid1 225	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  –onto→wfo 6491   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887   ≼^* cwdom 9473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-wdom 9474  df-card 9857  df-acn 9860

This theorem is referenced by: (None)