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Theorem kelac1 41805
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
kelac1.j ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ Top)
kelac1.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜π½))
kelac1.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐡:𝑆–1-1-onto→𝐢)
kelac1.u ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ 𝐽)
kelac1.k (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac1 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
32cldss 22533 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐽)
54ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6 boxriin 8934 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 = (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 = (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
8 kelac1.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Comp)
9 cmptop 22899 . . . . . . . . 9 ((∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Comp β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Top)
10 0ntop 22407 . . . . . . . . . . 11 Β¬ βˆ… ∈ Top
11 fvprc 6884 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) = βˆ…)
1211eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V β†’ ((∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Top ↔ βˆ… ∈ Top))
1310, 12mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V β†’ Β¬ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Top)
1413con4i 114 . . . . . . . . 9 ((∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V)
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V)
16 kelac1.j . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1716fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽):𝐼⟢Top)
18 dmfex 7898 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽):𝐼⟢Top) β†’ 𝐼 ∈ V)
1915, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
2016ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐽 ∈ Top)
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽))
2221ptunimpt 23099 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐽 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)))
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)))
2423ineq1d 4212 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) = (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
25 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) = βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽))
262topcld 22539 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (Clsdβ€˜π½))
281, 27ifcld 4575 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2919, 16, 28ptcldmpt 23118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽))))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽))))
31 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
32 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐡:𝑆–1-1-onto→𝐢)
33 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡:𝑆–1-1-onto→𝐢 β†’ 𝐡:𝑆–onto→𝐢)
34 foima 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡:𝑆–onto→𝐢 β†’ (𝐡 β€œ 𝑆) = 𝐢)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐡 β€œ 𝑆) = 𝐢)
3635eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 = (𝐡 β€œ 𝑆))
37 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
38 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐡:𝑆–1-1-onto→𝐢 β†’ 𝐡 Fn 𝑆)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐡 Fn 𝑆)
40 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 βŠ† 𝑆
41 fnimaeq0 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 Fn 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐡 β€œ 𝑆) = βˆ… ↔ 𝑆 = βˆ…))
4239, 40, 41sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐡 β€œ 𝑆) = βˆ… ↔ 𝑆 = βˆ…))
4342necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐡 β€œ 𝑆) β‰  βˆ… ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
4437, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐡 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
4536, 44eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 β‰  βˆ…)
46 n0 4347 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐢)
4745, 46sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐢)
48 rexv 3500 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐢)
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢)
5049ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢)
51 ssralv 4051 . . . . . . . . . 10 (𝑧 βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢))
5251adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢))
5350, 52mpan9 508 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢)
54 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (𝑀 ∈ 𝐢 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢))
5554ac6sfi 9287 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘€ ∈ V 𝑀 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘§βŸΆV ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢))
5631, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘§βŸΆV ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢))
5723eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽)
5857ineq1d 4212 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) = (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) = (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
60 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) = (π‘“β€˜π‘₯))
6160ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) = (π‘“β€˜π‘₯))
62 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ πœ‘)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐼)
6463sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6562, 64, 4syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6665sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐽))
6766impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐽)
6861, 67eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
6968expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
7069ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
7170imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
72 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑧)
7372iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) = π‘ˆ)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) = π‘ˆ)
75 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
76 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ 𝐽)
7775, 76sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ 𝐽)
7874, 77eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
7978ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
81 ralun 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
8271, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
83 undif 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 βŠ† 𝐼 ↔ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧)) = 𝐼)
8483biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧)) = 𝐼)
8584ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧)) = 𝐼)
8685raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
8882, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽)
8919ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ 𝐼 ∈ V)
90 mptelixpg 8929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ βˆͺ 𝐽))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽)
93 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐢 = if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
94 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆͺ 𝐽 = if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
95 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
9667adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐽)
9793, 94, 95, 96ifbothda 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
9861, 97eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
9998expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
10099ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
101100imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
10377adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ 𝐽)
10473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) = π‘ˆ)
105 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 βˆ– 𝑧) ∩ 𝑧) = βˆ…
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝑧) ∩ 𝑧) = βˆ…)
107 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧))
108 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
109 disjne 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐼 βˆ– 𝑧) ∩ 𝑧) = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
110106, 107, 108, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
111110neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑦)
112111iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽)
113103, 104, 1123eltr4d 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
114113ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
115114adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
116115adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
117 ralun 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
118102, 116, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
11985raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
120119ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑧 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝑧))if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
121118, 120mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
12219ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝐼 ∈ V)
123 mptelixpg 8929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ) ∈ if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
125121, 124mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
126125ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
127 mptexg 7223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ V)
12819, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ V)
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ V)
130 eliin 5003 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
132126, 131mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽))
13392, 132elind 4195 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑧, (π‘“β€˜π‘₯), π‘ˆ)) ∈ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)))
134133ne0d 4336 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
13559, 134eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
136135adantrl 715 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑓:π‘§βŸΆV ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
13756, 136exlimddv 1939 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑧 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
13825, 8, 30, 137cmpfiiin 41435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)) ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
13924, 138eqnetrd 3009 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝐼 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 if(π‘₯ = 𝑦, 𝐢, βˆͺ 𝐽)) β‰  βˆ…)
1407, 139eqnetrd 3009 . . 3 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 β‰  βˆ…)
141 n0 4347 . . 3 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢)
142140, 141sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢)
143 elixp2 8895 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 ↔ (𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢))
144143simp3bi 1148 . . . . 5 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
145 f1ocnv 6846 . . . . . . . 8 (𝐡:𝑆–1-1-onto→𝐢 β†’ ◑𝐡:𝐢–1-1-onto→𝑆)
146 f1of 6834 . . . . . . . 8 (◑𝐡:𝐢–1-1-onto→𝑆 β†’ ◑𝐡:πΆβŸΆπ‘†)
147 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((◑𝐡:πΆβŸΆπ‘† ∧ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆)
148147ex 414 . . . . . . . 8 (◑𝐡:πΆβŸΆπ‘† β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
14932, 145, 146, 1484syl 19 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
150149ralimdva 3168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
151150imp 408 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆)
152144, 151sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆)
153 mptelixpg 8929 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
15419, 153syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
155154adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ 𝑆))
156152, 155mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (β—‘π΅β€˜(π‘¦β€˜π‘₯))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆)
157156ne0d 4336 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐢) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
158142, 157exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909  βˆ© ciin 4999   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  Xcixp 8891  Fincfn 8939  βˆtcpt 17384  Topctop 22395  Clsdccld 22520  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-ixp 8892  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cmp 22891
This theorem is referenced by:  kelac2  41807
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