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Theorem kelac1 43080
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac1.j ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
kelac1.c ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
kelac1.b ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
kelac1.u ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
kelac1.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
32cldss 23038 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 𝐽)
54ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽)
6 boxriin 8981 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
8 kelac1.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
9 cmptop 23404 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
10 0ntop 22912 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ ∈ Top
11 fvprc 6897 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = ∅)
1211eleq1d 2825 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top ↔ ∅ ∈ Top))
1310, 12mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ¬ (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
1413con4i 114 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
16 kelac1.j . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
1716fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top)
18 dmfex 7928 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top) → 𝐼 ∈ V)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2016ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top)
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
2221ptunimpt 23604 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top) → X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2423ineq1d 4218 . . . . 5 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
25 eqid 2736 . . . . . 6 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
262topcld 23044 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
281, 27ifcld 4571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘𝐽))
2919, 16, 28ptcldmpt 23623 . . . . . . 7 (𝜑X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
31 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
32 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
33 f1ofo 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝑆onto𝐶)
34 foima 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆onto𝐶 → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3635eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 = (𝐵𝑆))
37 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
38 f1ofn 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵 Fn 𝑆)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 Fn 𝑆)
40 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆𝑆
41 fnimaeq0 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 Fn 𝑆𝑆𝑆) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4342necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) ≠ ∅)
4536, 44eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ≠ ∅)
46 n0 4352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4745, 46sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 𝑤𝐶)
48 rexv 3508 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4947, 48sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
5049ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
51 ssralv 4051 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5350, 52mpan9 506 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
54 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑓𝑥) → (𝑤𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5554ac6sfi 9321 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5631, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5723eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = X𝑥𝐼 𝐽)
5857ineq1d 4218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
60 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
62 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧𝐼)
6463sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐼)
6562, 64, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐶 𝐽)
6665sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽))
6766impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
6861, 67eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
6968expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7069ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
72 eldifn 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → ¬ 𝑥𝑧)
7372iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
75 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → 𝑥𝐼)
76 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
7775, 76sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
7874, 77eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
7978ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8079ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
81 ralun 4197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8271, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
83 undif 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 ↔ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8483biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐼 → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8584ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8685raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8882, 87mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8919ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ V)
90 mptelixpg 8976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽)
93 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
94 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( 𝐽 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
95 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)
9667adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
9793, 94, 95, 96ifbothda 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9861, 97eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9998expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
10099ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
101100imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
10377adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
10473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
105 disjdifr 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅)
107 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝑧))
108 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑦𝑧)
109 disjne 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
110106, 107, 108, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥𝑦)
111110neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
112111iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) = 𝐽)
113103, 104, 1123eltr4d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
114113ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
115114adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
116115adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
117 ralun 4197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
118102, 116, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
11985raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
120119ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
121118, 120mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12219ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐼 ∈ V)
123 mptelixpg 8976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
125121, 124mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
126125ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
127 mptexg 7242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
12819, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
129128ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
130 eliin 4995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
132126, 131mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
13392, 132elind 4199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
134133ne0d 4341 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13559, 134eqnetrd 3007 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
136135adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13756, 136exlimddv 1934 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13825, 8, 30, 137cmpfiiin 42713 . . . . 5 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13924, 138eqnetrd 3007 . . . 4 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
1407, 139eqnetrd 3007 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅)
141 n0 4352 . . 3 (X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
142140, 141sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
143 elixp2 8942 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶))
144143simp3bi 1147 . . . . 5 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶)
145 f1ocnv 6859 . . . . . . . 8 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝐶1-1-onto𝑆)
146 f1of 6847 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶1-1-onto𝑆𝐵:𝐶𝑆)
147 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . 9 ((𝐵:𝐶𝑆 ∧ (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
148147ex 412 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶𝑆 → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
14932, 145, 146, 1484syl 19 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
150149ralimdva 3166 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
151150imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
152144, 151sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
153 mptelixpg 8976 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15419, 153syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
155154adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
156152, 155mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆)
157156ne0d 4341 . 2 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
158142, 157exlimddv 1934 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524   cuni 4906   ciin 4991  cmpt 5224  ccnv 5683  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  ontowfo 6558  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  Xcixp 8938  Fincfn 8986  tcpt 17484  Topctop 22900  Clsdccld 23025  Compccmp 23395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-fi 9452  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-top 22901  df-bases 22954  df-cld 23028  df-cmp 23396
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