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Theorem kelac1 43052
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac1.j ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
kelac1.c ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
kelac1.b ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
kelac1.u ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
kelac1.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
32cldss 23053 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 𝐽)
54ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽)
6 boxriin 8979 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
8 kelac1.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
9 cmptop 23419 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
10 0ntop 22927 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ ∈ Top
11 fvprc 6899 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = ∅)
1211eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top ↔ ∅ ∈ Top))
1310, 12mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ¬ (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
1413con4i 114 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
16 kelac1.j . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
1716fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top)
18 dmfex 7928 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top) → 𝐼 ∈ V)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2016ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top)
21 eqid 2735 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
2221ptunimpt 23619 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top) → X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2423ineq1d 4227 . . . . 5 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
25 eqid 2735 . . . . . 6 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
262topcld 23059 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
281, 27ifcld 4577 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘𝐽))
2919, 16, 28ptcldmpt 23638 . . . . . . 7 (𝜑X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
31 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
32 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
33 f1ofo 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝑆onto𝐶)
34 foima 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆onto𝐶 → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3635eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 = (𝐵𝑆))
37 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
38 f1ofn 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵 Fn 𝑆)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 Fn 𝑆)
40 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆𝑆
41 fnimaeq0 6702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 Fn 𝑆𝑆𝑆) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4342necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) ≠ ∅)
4536, 44eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ≠ ∅)
46 n0 4359 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4745, 46sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 𝑤𝐶)
48 rexv 3507 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4947, 48sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
5049ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
51 ssralv 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5350, 52mpan9 506 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
54 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑓𝑥) → (𝑤𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5554ac6sfi 9318 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5631, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5723eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = X𝑥𝐼 𝐽)
5857ineq1d 4227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
60 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
62 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)
63 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧𝐼)
6463sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐼)
6562, 64, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐶 𝐽)
6665sseld 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽))
6766impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
6861, 67eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
6968expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7069ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
72 eldifn 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → ¬ 𝑥𝑧)
7372iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
75 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → 𝑥𝐼)
76 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
7775, 76sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
7874, 77eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
7978ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8079ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
81 ralun 4208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8271, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
83 undif 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 ↔ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8483biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐼 → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8584ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8685raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8882, 87mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8919ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ V)
90 mptelixpg 8974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽)
93 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
94 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( 𝐽 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
95 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)
9667adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
9793, 94, 95, 96ifbothda 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9861, 97eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9998expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
10099ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
101100imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
10377adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
10473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
105 disjdifr 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅)
107 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝑧))
108 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑦𝑧)
109 disjne 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
110106, 107, 108, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥𝑦)
111110neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
112111iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) = 𝐽)
113103, 104, 1123eltr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
114113ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
115114adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
116115adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
117 ralun 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
118102, 116, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
11985raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
120119ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
121118, 120mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12219ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐼 ∈ V)
123 mptelixpg 8974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
125121, 124mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
126125ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
127 mptexg 7241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
12819, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
129128ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
130 eliin 5001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
132126, 131mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
13392, 132elind 4210 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
134133ne0d 4348 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13559, 134eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
136135adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13756, 136exlimddv 1933 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13825, 8, 30, 137cmpfiiin 42685 . . . . 5 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13924, 138eqnetrd 3006 . . . 4 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
1407, 139eqnetrd 3006 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅)
141 n0 4359 . . 3 (X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
142140, 141sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
143 elixp2 8940 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶))
144143simp3bi 1146 . . . . 5 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶)
145 f1ocnv 6861 . . . . . . . 8 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝐶1-1-onto𝑆)
146 f1of 6849 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶1-1-onto𝑆𝐵:𝐶𝑆)
147 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝐵:𝐶𝑆 ∧ (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
148147ex 412 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶𝑆 → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
14932, 145, 146, 1484syl 19 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
150149ralimdva 3165 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
151150imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
152144, 151sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
153 mptelixpg 8974 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15419, 153syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
155154adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
156152, 155mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆)
157156ne0d 4348 . 2 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
158142, 157exlimddv 1933 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531   cuni 4912   ciin 4997  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Xcixp 8936  Fincfn 8984  tcpt 17485  Topctop 22915  Clsdccld 23040  Compccmp 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-top 22916  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cmp 23411
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