Theorem fsuppssov1 9360

Description: Formula building theorem for finite support: operator with left annihilator. Finite support version of suppssov1 8198. (Contributed by SN, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppssov1.s	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
fsuppssov1.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
fsuppssov1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppssov1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
fsuppssov1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppssov1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑣)   𝑊(𝑥, 𝑣)

Proof of Theorem fsuppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppssov1.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
2		relfsupp 9339	. . . . . 6 ⊢ Rel finSupp
3	2	brrelex1i 5707	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
5		fsuppssov1.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	fmpttd 7107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉)
7		dmfex 7906	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉) → 𝐷 ∈ V)
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
9	8	mptexd 7222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
10		fsuppssov1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
11		funmpt 6570	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)))
13		ssidd 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
14		fsuppssov1.o	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
15		fsuppssov1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
16	2	brrelex2i 5708	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
17	1, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18	13, 14, 5, 15, 17	suppssov1 8198	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
19	9, 10, 12, 1, 18	fsuppsssuppgd 9358	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412   supp csupp 8161   finSupp cfsupp 9337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-supp 8162  df-1o 8460  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9338

This theorem is used by:  selvvvval  22431  elrgspn  33789  elrgspnsubrunlem2  33791  evlextv  34156  mplvrpmrhm  34161  evlselv  43579