Theorem fsuppssov1 9287

Description: Formula building theorem for finite support: operator with left annihilator. Finite support version of suppssov1 8139. (Contributed by SN, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppssov1.s	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
fsuppssov1.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
fsuppssov1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppssov1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
fsuppssov1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppssov1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem fsuppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppssov1.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
2		relfsupp 9266	. . . . . 6 ⊢ Rel finSupp
3	2	brrelex1i 5680	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
5		fsuppssov1.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	fmpttd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉)
7		dmfex 7847	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉) → 𝐷 ∈ V)
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
9	8	mptexd 7170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
10		fsuppssov1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
11		funmpt 6530	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)))
13		ssidd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
14		fsuppssov1.o	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
15		fsuppssov1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
16	2	brrelex2i 5681	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
17	1, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18	13, 14, 5, 15, 17	suppssov1 8139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
19	9, 10, 12, 1, 18	fsuppsssuppgd 9285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-supp 8103  df-1o 8397  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  elrgspn  33328  elrgspnsubrunlem2  33330  evlextv  33707  mplvrpmrhm  33712  selvvvval  42824  evlselv  42826