Theorem fsuppssov1 9354

Description: Formula building theorem for finite support: operator with left annihilator. Finite support version of suppssov1 8202. (Contributed by SN, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppssov1.s	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
fsuppssov1.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
fsuppssov1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppssov1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
fsuppssov1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppssov1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑣)   𝑊(𝑥, 𝑣)

Proof of Theorem fsuppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppssov1.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌)
2		relfsupp 9333	. . . . . 6 ⊢ Rel finSupp
3	2	brrelex1i 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V)
5		fsuppssov1.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	fmpttd 7117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉)
7		dmfex 7911	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴):𝐷⟶𝑉) → 𝐷 ∈ V)
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
9	8	mptexd 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
10		fsuppssov1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
11		funmpt 6581	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)))
13		ssidd 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
14		fsuppssov1.o	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
15		fsuppssov1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
16	2	brrelex2i 5723	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) finSupp 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
17	1, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18	13, 14, 5, 15, 17	suppssov1 8202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
19	9, 10, 12, 1, 18	fsuppsssuppgd 9352	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  (class class class)co 7423   supp csupp 8165   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-supp 8166  df-1o 8462  df-en 8953  df-fin 8956  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  selvvvval  22330  elrgspn  33597  elrgspnsubrunlem2  33599  evlextv  33963  mplvrpmrhm  33968  evlselv  43362