Theorem fsupdm2 47853

Description: The domain of the sup function is defined in Proposition 121F (b) of [Fremlin1], p. 38. Note that this definition of the sup function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fourth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsupdm2.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
fsupdm2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fsupdm2.3	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fsupdm2.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fsupdm2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
fsupdm2.6	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
fsupdm2.7	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
fsupdm2.8	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))

Assertion

Ref	Expression
fsupdm2	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem fsupdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsupdm2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fsupdm2.6	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
3		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4	2, 3	nfcxfr 2920	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		fsupdm2.7	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6		ltso 11390	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
7	6	supex 9456	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	dmmptdff 46236	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
10		fsupdm2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
11		fsupdm2.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
12		fsupdm2.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13		fsupdm2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
14		fsupdm2.8	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
15	10, 1, 11, 12, 13, 2, 14	fsupdm 47852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))
16	9, 15	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  ∪ ciun 4950  ∩ ciin 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  supcsup 9432  ℝcr 11199  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336

This theorem is used by:  smfsupdmmbllem  47854