Theorem axccdom 46450

Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
axccdom.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccdom	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
3		axccdom.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
4	3	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
5	1, 2, 4	choicefi 46429	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
6		axccdom.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8		isfinite2 9321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
9	8	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
11	7, 10	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12		bren2 9041	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
13	11, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14		ctex 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
15	6, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19		raleq 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
20	19	exbidv 1956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
21	18, 20	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))))
22		ax-cc 10543	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
23	21, 22	vtoclg 3521	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
24	16, 17, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
25	15	mptexd 7256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V)
27		fvex 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔‘𝑧) ∈ V
28	27	rgenw 3084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑧) ∈ V
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
30	29	fnmpt 6704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑧) ∈ V → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋)
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋)
33		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
34		nfra1 3290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)
35	33, 34	nfan 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
36		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → 𝑧 ∈ 𝑋)
37	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑔‘𝑧) ∈ V)
38	29	fvmpt2 7031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑔‘𝑧) ∈ V) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
39	36, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
41		rspa 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
42	41	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
43	3	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
45	42, 43, 44	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)
46	40, 45	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
47	46	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	35, 47	ralrimi 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
49	32, 48	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50		fneq1 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋))
51		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧𝑓
52		nfmpt1 5208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
53	51, 52	nfeq 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
54		fveq1 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧))
55	54	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
56	53, 55	ralbid 3279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
57	50, 56	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
58	57	spcegv 3555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
59	26, 49, 58	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
60	59	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
61	60	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
62	61	exlimdv 1968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
63	24, 62	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
64	13, 63	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
65	5, 64	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  ωcom 7904   ≈ cen 9001   ≼ cdom 9002   ≺ csdm 9003  Fincfn 9004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cc 10543

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008

This theorem is used by:  subsaliuncl  47583