Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccdom 41352
Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccdom.1 (𝜑𝑋 ≼ ω)
axccdom.2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccdom (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2 simpr 485 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
3 axccdom.2 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
43adantlr 711 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
51, 2, 4choicefi 41328 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6 axccdom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8 isfinite2 8765 . . . . . . 7 (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
98con3i 157 . . . . . 6 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
109adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
117, 10jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12 bren2 8529 . . . 4 (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
1311, 12sylibr 235 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14 ctex 8513 . . . . . . 7 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
156, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18 breq1 5066 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19 raleq 3411 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2019exbidv 1915 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2118, 20imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))))
22 ax-cc 9846 . . . . . 6 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2321, 22vtoclg 3573 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2416, 17, 23sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2515mptexd 6982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
27 fvex 6680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑧) ∈ V
2827rgenw 3155 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V
29 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
3029fnmpt 6485 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
33 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
34 nfra1 3224 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
3533, 34nfan 1893 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
3727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑔𝑧) ∈ V)
3829fvmpt2 6775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑔𝑧) ∈ V) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
41 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4241adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
433adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4542, 43, 44sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
4640, 45eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4746ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
4835, 47ralrimi 3221 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4932, 48jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50 fneq1 6441 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋))
51 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑓
52 nfmpt1 5161 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
5351, 52nfeq 2996 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
54 fveq1 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓𝑧) = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧))
5554eleq1d 2902 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5653, 55ralbid 3236 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5750, 56anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5857spcegv 3602 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5926, 49, 58sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6059adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6160ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6261exlimdv 1927 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6324, 62mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6413, 63syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
655, 64pm2.61dan 809 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  Vcvv 3500  c0 4295   class class class wbr 5063  cmpt 5143   Fn wfn 6347  cfv 6352  ωcom 7568  cen 8495  cdom 8496  csdm 8497  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cc 9846
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  subsaliuncl  42507
  Copyright terms: Public domain W3C validator