Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccdom 40156
Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccdom.1 (𝜑𝑋 ≼ ω)
axccdom.2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccdom (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2 simpr 478 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
3 axccdom.2 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
43adantlr 707 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
51, 2, 4choicefi 40132 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6 axccdom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
76adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8 isfinite2 8458 . . . . . . 7 (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
98con3i 152 . . . . . 6 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
109adantl 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
117, 10jca 508 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12 bren2 8224 . . . 4 (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
1311, 12sylibr 226 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14 ctex 8208 . . . . . . 7 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
156, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
1615adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18 breq1 4844 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19 raleq 3319 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2019exbidv 2017 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2118, 20imbi12d 336 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))))
22 ax-cc 9543 . . . . . 6 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2321, 22vtoclg 3451 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2416, 17, 23sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2515mptexd 6714 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
2625adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
27 fvex 6422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑧) ∈ V
2827rgenw 3103 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V
29 eqid 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
3029fnmpt 6229 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
33 nfv 2010 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
34 nfra1 3120 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
3533, 34nfan 1999 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
3727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑔𝑧) ∈ V)
3829fvmpt2 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑔𝑧) ∈ V) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
3936, 37, 38syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
4039adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
41 rspa 3109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4241adantll 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
433adantlr 707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4542, 43, 44sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
4640, 45eqeltrd 2876 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4746ex 402 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
4835, 47ralrimi 3136 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4932, 48jca 508 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50 fneq1 6188 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋))
51 nfcv 2939 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑓
52 nfmpt1 4938 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
5351, 52nfeq 2951 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
54 fveq1 6408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓𝑧) = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧))
5554eleq1d 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5653, 55ralbid 3162 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5750, 56anbi12d 625 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5857spcegv 3480 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5926, 49, 58sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6059adantlr 707 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6160ex 402 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6261exlimdv 2029 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6324, 62mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6413, 63syldan 586 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
655, 64pm2.61dan 848 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  Vcvv 3383  c0 4113   class class class wbr 4841  cmpt 4920   Fn wfn 6094  cfv 6099  ωcom 7297  cen 8190  cdom 8191  csdm 8192  Fincfn 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cc 9543
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197
This theorem is referenced by:  subsaliuncl  41307
  Copyright terms: Public domain W3C validator