Theorem axccdom 46178

Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
axccdom.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccdom	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
3		axccdom.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
4	3	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
5	1, 2, 4	choicefi 46157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
6		axccdom.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8		isfinite2 9274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
9	8	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
11	7, 10	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12		bren2 8994	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
13	11, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14		ctex 8974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
15	6, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19		raleq 3317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
20	19	exbidv 1954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
21	18, 20	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))))
22		ax-cc 10494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
23	21, 22	vtoclg 3518	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)))
24	16, 17, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
25	15	mptexd 7222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V)
27		fvex 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔‘𝑧) ∈ V
28	27	rgenw 3081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑧) ∈ V
29		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
30	29	fnmpt 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑧) ∈ V → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋)
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋)
33		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
34		nfra1 3287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)
35	33, 34	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
36		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → 𝑧 ∈ 𝑋)
37	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑔‘𝑧) ∈ V)
38	29	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑔‘𝑧) ∈ V) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
39	36, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
41		rspa 3252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
42	41	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
43	3	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧))
45	42, 43, 44	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)
46	40, 45	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
47	46	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	35, 47	ralrimi 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
49	32, 48	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50		fneq1 6622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋))
51		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧𝑓
52		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
53	51, 52	nfeq 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))
54		fveq1 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧))
55	54	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
56	53, 55	ralbid 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
57	50, 56	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
58	57	spcegv 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) ∈ V → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
59	26, 49, 58	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
60	59	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
61	60	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
62	61	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
63	24, 62	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
64	13, 63	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
65	5, 64	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  ωcom 7866   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cc 10494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961

This theorem is used by:  subsaliuncl  47312