Theorem finfdm2 47589

Description: The domain of the inf function is defined in Proposition 121F (c) of [Fremlin1], p. 39. See smfinf 47560. Note that this definition of the inf function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fifth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finfdm2.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
finfdm2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
finfdm2.3	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
finfdm2.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
finfdm2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
finfdm2.6	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
finfdm2.7	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
finfdm2.8	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))

Assertion

Ref	Expression
finfdm2	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem finfdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finfdm2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		finfdm2.6	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
3		nfrab1 3435	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
4	2, 3	nfcxfr 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		finfdm2.7	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6		ltso 11296	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
7	6	infex 9453	. . . 4 ⊢ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	dmmptdff 45967	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
10		finfdm2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
11		finfdm2.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
12		finfdm2.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13		finfdm2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ*)
14		finfdm2.8	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
15	10, 1, 11, 12, 13, 2, 14	finfdm 47588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))
16	9, 15	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ∪ 𝑚 ∈ ℕ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐻‘𝑛)‘𝑚))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454  ∪ ciun 4955  ∩ ciin 4956   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ran crn 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  infcinf 9399  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  -cneg 11448  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240

This theorem is used by:  smfinfdmmbllem  47590