MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domssr 9040
Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
domssr ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domssr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 9000 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
213ad2ant3 1135 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 simp2 1137 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
4 reldom 8992 . . . . 5 Rel ≼
54brrelex1i 5740 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
653ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7 simp1 1136 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐶𝑉)
83, 6, 7jca32 515 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)))
9 f1ss 6808 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝑓:𝐴1-1𝐶)
10 vex 3483 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
11 f1dom4g 9007 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1210, 11mp3anl1 1456 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1312ancoms 458 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
149, 13sylan 580 . . . 4 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
1514expl 457 . . 3 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
1615exlimiv 1929 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
172, 8, 16sylc 65 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1778  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950   class class class wbr 5142  1-1wf1 6557  cdom 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-dom 8988
This theorem is referenced by:  0sdom1dom  9275  rex2dom  9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator