Theorem domssr 8946

Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domssr	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domssr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8906	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		reldom 8899	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex1i 5687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	3, 6, 7	jca32 515	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
9		f1ss 6741	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐶)
10		vex 3433	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
11		f1dom4g 8912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	10, 11	mp3anl1 1458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	12	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	9, 13	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	14	expl 457	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
16	15	exlimiv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
17	2, 8, 16	sylc 65	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  –1-1→wf1 6495   ≼ cdom 8891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-dom 8895

This theorem is referenced by:  0sdom1dom  9156  rex2dom  9163