Theorem domssr 9057

Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domssr	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domssr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 9017	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵)
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵)
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		reldom 9010	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex1i 5712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	3, 6, 7	jca32 525	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
9		f1ss 6810	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝑓:𝐴⟶1-1𝐶)
10		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
11		f1dom4g 9023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	10, 11	mp3anl1 1485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	12	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	9, 13	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑓:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	14	expl 463	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
16	15	exlimiv 1965	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
17	2, 8, 16	sylc 66	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ⟶1-1wf1 6558   ≼ cdom 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-dom 9006

This theorem is used by:  0sdom1dom  9268  rex2dom  9275