Theorem domssr 8997

Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domssr	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domssr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8957	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		reldom 8950	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex1i 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	3, 6, 7	jca32 524	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
9		f1ss 6783	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐶)
10		vex 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
11		f1dom4g 8963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	10, 11	mp3anl1 1484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	12	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	9, 13	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	14	expl 462	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
16	15	exlimiv 1960	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
17	2, 8, 16	sylc 66	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  –1-1→wf1 6535   ≼ cdom 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-dom 8946

This theorem is referenced by:  0sdom1dom  9207  rex2dom  9214