MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domssr 8999
Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
domssr ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domssr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8958 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
213ad2ant3 1133 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 simp2 1135 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
4 reldom 8949 . . . . 5 Rel ≼
54brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
653ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7 simp1 1134 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐶𝑉)
83, 6, 7jca32 514 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)))
9 f1ss 6794 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝑓:𝐴1-1𝐶)
10 vex 3476 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
11 f1dom4g 8965 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1210, 11mp3anl1 1453 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1312ancoms 457 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
149, 13sylan 578 . . . 4 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
1514expl 456 . . 3 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
1615exlimiv 1931 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
172, 8, 16sylc 65 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085  wex 1779  wcel 2104  Vcvv 3472  wss 3949   class class class wbr 5149  1-1wf1 6541  cdom 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-dom 8945
This theorem is referenced by:  0sdom1dom  9242  rex2dom  9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator