MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domssr 8936
Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
domssr ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domssr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8895 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
213ad2ant3 1135 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 simp2 1137 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
4 reldom 8886 . . . . 5 Rel ≼
54brrelex1i 5687 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
653ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7 simp1 1136 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐶𝑉)
83, 6, 7jca32 516 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)))
9 f1ss 6742 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝑓:𝐴1-1𝐶)
10 vex 3448 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
11 f1dom4g 8902 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1210, 11mp3anl1 1455 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1312ancoms 459 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
149, 13sylan 580 . . . 4 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶)
1514expl 458 . . 3 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
1615exlimiv 1933 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 → ((𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉)) → 𝐴𝐶))
172, 8, 16sylc 65 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3444  wss 3909   class class class wbr 5104  1-1wf1 6491  cdom 8878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-dom 8882
This theorem is referenced by:  0sdom1dom  9179  rex2dom  9187
  Copyright terms: Public domain W3C validator