Theorem 0sdom1dom 9269

Description: Strict dominance over 0 is the same as dominance over 1. For a shorter proof requiring ax-un 7746, see 0sdom1domALT . (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7746. (Revised by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8977	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5739	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		reldom 8976	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5739	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9135	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		n0 4350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7		snssi 4816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8		df1o2 8500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
9		0ex 5311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
10		vex 3477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		en2sn 9072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
13	8, 12	eqbrtri 5173	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≈ {𝑥}
14		endom 9006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ≈ {𝑥} → 1o ≼ {𝑥})
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≼ {𝑥}
16		domssr 9026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ 1o ≼ {𝑥}) → 1o ≼ 𝐴)
17	15, 16	mp3an3 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
18	17	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥} ⊆ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
19	7, 18	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
20	19	exlimdv 1928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
21	6, 20	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ → 1o ≼ 𝐴))
22		1n0 8515	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
23		dom0 9133	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≼ ∅ ↔ 1o = ∅)
24	22, 23	nemtbir 3035	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≼ ∅
25		breq2 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≼ 𝐴 ↔ 1o ≼ ∅))
26	24, 25	mtbiri 326	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≼ 𝐴)
27	26	necon2ai 2967	. . . 4 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
28	21, 27	impbid1 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 1o ≼ 𝐴))
29	5, 28	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴))
30	2, 4, 29	pm5.21nii 377	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  1_oc1o 8486   ≈ cen 8967   ≼ cdom 8968   ≺ csdm 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-suc 6380  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-1o 8493  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973

This theorem is referenced by:  1sdom2  9271  sdom1OLD  9274  1sdom2dom  9278  djulepw  10223  fin45  10423  gchxpidm  10700  rankcf  10808  snct  32516