Theorem 0sdom1dom 9216

Description: Strict dominance over 0 is the same as dominance over 1. For a shorter proof requiring ax-un 7745, see 0sdom1domALT . (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7745. (Revised by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8959	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5723	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		reldom 8958	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5723	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9104	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		n0 4310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7		snssi 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8		df1o2 8469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
9		0ex 5275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
10		vex 3462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		en2sn 9048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
13	8, 12	eqbrtri 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≈ {𝑥}
14		endom 8985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ≈ {𝑥} → 1o ≼ {𝑥})
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≼ {𝑥}
16		domssr 9005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ 1o ≼ {𝑥}) → 1o ≼ 𝐴)
17	15, 16	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
18	17	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥} ⊆ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
19	7, 18	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
20	19	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
21	6, 20	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ → 1o ≼ 𝐴))
22		1n0 8481	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
23		dom0 9103	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≼ ∅ ↔ 1o = ∅)
24	22, 23	nemtbir 3057	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≼ ∅
25		breq2 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≼ 𝐴 ↔ 1o ≼ ∅))
26	24, 25	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≼ 𝐴)
27	26	necon2ai 2990	. . . 4 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
28	21, 27	impbid1 228	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 1o ≼ 𝐴))
29	5, 28	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴))
30	2, 4, 29	pm5.21nii 381	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114  1_oc1o 8455   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-suc 6373  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-1o 8462  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955

This theorem is used by:  1sdom2  9218  1sdom2dom  9224  djulepw  10195  fin45  10394  gchxpidm  10672  rankcf  10780  snct  33094