MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdom1dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdom1dom 8795
Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
0sdom1dom (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom
StepHypRef Expression
1 peano1 7620 . . 3 ∅ ∈ ω
2 sucdom 8794 . . 3 (∅ ∈ ω → (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
4 df-1o 8131 . . 3 1o = suc ∅
54breq1i 5037 . 2 (1o𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
63, 5bitr4i 281 1 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wcel 2114  c0 4211   class class class wbr 5030  suc csuc 6174  ωcom 7599  1oc1o 8124  cdom 8553  csdm 8554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558
This theorem is referenced by:  sdom1  8797  djulepw  9692  fin45  9892  gchxpidm  10169  rankcf  10277  snct  30623
  Copyright terms: Public domain W3C validator