Theorem 0sdom1dom 9272

Description: Strict dominance over 0 is the same as dominance over 1. For a shorter proof requiring ax-un 7754, see 0sdom1domALT . (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8991	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5746	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		reldom 8990	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5746	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		n0 4359	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7		snssi 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8		df1o2 8512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
9		0ex 5313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
10		vex 3482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		en2sn 9080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
13	8, 12	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≈ {𝑥}
14		endom 9018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ≈ {𝑥} → 1o ≼ {𝑥})
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≼ {𝑥}
16		domssr 9038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ 1o ≼ {𝑥}) → 1o ≼ 𝐴)
17	15, 16	mp3an3 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥} ⊆ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
19	7, 18	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
20	19	exlimdv 1931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
21	6, 20	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ → 1o ≼ 𝐴))
22		1n0 8525	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
23		dom0 9141	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≼ ∅ ↔ 1o = ∅)
24	22, 23	nemtbir 3036	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≼ ∅
25		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≼ 𝐴 ↔ 1o ≼ ∅))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≼ 𝐴)
27	26	necon2ai 2968	. . . 4 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
28	21, 27	impbid1 225	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 1o ≼ 𝐴))
29	5, 28	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴))
30	2, 4, 29	pm5.21nii 378	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-suc 6392  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  1sdom2  9274  sdom1OLD  9277  1sdom2dom  9281  djulepw  10231  fin45  10430  gchxpidm  10707  rankcf  10815  snct  32731