Theorem 0sdom1dom 9240

Description: Strict dominance over 0 is the same as dominance over 1. For a shorter proof requiring ax-un 7722, see 0sdom1domALT . (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7722. (Revised by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8948	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5726	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		reldom 8947	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5726	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		n0 4341	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7		snssi 4806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8		df1o2 8474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
9		0ex 5300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
10		vex 3472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		en2sn 9043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
12	9, 10, 11	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
13	8, 12	eqbrtri 5162	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≈ {𝑥}
14		endom 8977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ≈ {𝑥} → 1o ≼ {𝑥})
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≼ {𝑥}
16		domssr 8997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ 1o ≼ {𝑥}) → 1o ≼ 𝐴)
17	15, 16	mp3an3 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥} ⊆ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
19	7, 18	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
20	19	exlimdv 1928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴))
21	6, 20	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ → 1o ≼ 𝐴))
22		1n0 8489	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
23		dom0 9104	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≼ ∅ ↔ 1o = ∅)
24	22, 23	nemtbir 3032	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≼ ∅
25		breq2 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≼ 𝐴 ↔ 1o ≼ ∅))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≼ 𝐴)
27	26	necon2ai 2964	. . . 4 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
28	21, 27	impbid1 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 1o ≼ 𝐴))
29	5, 28	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴))
30	2, 4, 29	pm5.21nii 378	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  1_oc1o 8460   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-suc 6364  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-1o 8467  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by:  1sdom2  9242  sdom1OLD  9245  1sdom2dom  9249  djulepw  10189  fin45  10389  gchxpidm  10666  rankcf  10774  snct  32445