Theorem 0sdom1dom 8795

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7620	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		sucdom 8794	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
4		df-1o 8131	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	breq1i 5037	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
6	3, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2114  ∅c0 4211   class class class wbr 5030  suc csuc 6174  ωcom 7599  1_oc1o 8124   ≼ cdom 8553   ≺ csdm 8554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558

This theorem is referenced by:  sdom1  8797  djulepw  9692  fin45  9892  gchxpidm  10169  rankcf  10277  snct  30623